В обменном пункте можно совершить...

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

$-$ за 3 золотые монеты получить 4 серебряные и одну медную;

$-$ за 6 серебряных монет получить 4 золотые и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 35 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

Пусть x - золотые монеты, y - серебряные, z - медные. По условию, за 3 золотые монеты можно получить 4 серебряные и 1 медную, значит, уравнение будет таким: $3x=4y+z$; так же за 6 серебряных монет можно получить 4 золотые и 1 медную, значит, уравнение будет таким: $6y=4x+z$. Запишем данные уравнения как систему:
\[\left\{\begin{matrix} 3x=4y+z \\ 6y=4x+z \end{matrix}\right.\]

Вынесем из первого уравнения $x$: $x=\frac{4y+z}{3}$ и подставим его во второе уравнение:
\[6y=4\cdot \left (\frac{4y+z}{3} \right )+z\]
\[6y=\frac{16y+4z}{3}+z\]
\[18y=16y+4z+3z\]
\[2y=7z\]
\[y=3,5z\]

По условию появилось 35 медных монет, а у нас получилось, что за одну серебряную монету можно получить 3,5 медных монет $y=3,5z$. Чтобы получилось 35 медных монет, нам необходимо увеличить 3,5 в 10 раз, а так как мы увеличили в 10 раз левую часть уравнения, то необходимо и правую часть увеличить в 10 раз. Таким образом, серебряные монеты уменьшились на 10.