Сократите дробь...

Сократите дробь $\frac{216^{n-1}}{3\cdot 6^{n}\cdot 2^{2n-1}\cdot 3^{2n+1}}$.

$\frac{216^{n-1}}{3\cdot 6^{n}\cdot 2^{2n-1}\cdot 3^{2n+1}}$.

$216$ можно представить как $6^{3}$. Таким образом, можно преобразовать числитель:

$216^{n-1}=(6^{3})^{n-1}=6^{3n-3}=$

$=(2*3)^{3n-3}=2^{3n-3}*3^{3n-3}$

В знаменателе $6^{n}$ представим, как $(2*3)^{n}=2^{n}*3^{n}$ и, применив свойство умножения чисел с одинаковыми основаниями, но разными степенями(при умножении чисел с одинаковыми основаниями, но разными степенями, основание остаётся то же, степени скалдываются), получим:

$3\cdot 6^{n}\cdot 2^{2n-1}\cdot 3^{2n+1}=3\cdot 2^{n}\cdot 3^{n}\cdot 2^{2n-1}\cdot 3^{2n+1}=$

$=3^{1+n+2n+1}\cdot 2^{n+2n-1}=3^{3n+2}\cdot 2^{3n-1}$

Преобразовав числитель и знаменатель, получим дробь:

$\frac{2^{3n-3}\cdot 3^{3n-3}}{3^{3n+2}\cdot 2^{3n-1}}$

Теперь можно применить свойство деления чисел с одинаковыми основаниями и разными степенями(при делении - основание остается то же, степени вычитаются):

$2^{3n-3-(3n-1)}\cdot 3^{3n-3-(3n+2)}=2^{3n-3-3n+1}\cdot 3^{3n-3-3n-2}=2^{-2}\cdot 3^{-5}$

Посчитав, получаем:

$\frac{1}{2^{2}\cdot 3^{5}}=\frac{1}{4\cdot 243}=\frac{1}{972}$