В треугольнике ABC стороны равны 2,...

В треугольнике ABC стороны равны 2, 3 и 4. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

Радиус описанной около треугольника окружности находится по формуле

$R=\frac{abc}{4S}$

где a, b, c - стороны треугольника, S - площадь треугольника.

Так как известны три стороны треугольника, площадь можно найти по формуле Герона:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

где p-полупериметр(периметр деленный пополам).

Найдем полупериметр данного треугольника:

$p=(2+3+4):2=9:2=4,5$

Найдем площадь:

$S=\sqrt{4,5(4,5-2)(4,5-3)(4,5-4)}=\sqrt{4,5*2,5*1,5*0,5}=\sqrt{\frac{45\cdot 25\cdot 15\cdot 5}{10000}}=$

$=\sqrt{\frac{9\cdot 5\cdot 25\cdot 3\cdot 5\cdot 5}{10000}}=\frac{75\sqrt{15}}{100}=\frac{3\sqrt{15}}{4}$

Тогда радиус будет равен:

$R=\frac{2\cdot 3\cdot 4}{4\cdot \frac{3\sqrt{15}}{4}}=\frac{24}{3\sqrt{15}}=\frac{8\sqrt{15}}{15}$