Постройте график функции...

Постройте график функции $y=|3x-5|+|4x-7|$ и определите, при каких значениях p прямая y=p имеет с графиком ровно одну общую точку.

$y=|3x-5|+|4x-7|$

Подмодульные выражения равны нулю при $x=1\frac{2}{3}$ и $x=1\frac{3}{4}$.
Эти две точки разбивают координатную прямую на 3 промежутка.

На промежутке $(-\infty;\frac{5}{3})$ оба подмодульных выражения отрицательны, значит, снимаем модули со знаком минус. Функция принимает вид:

$y=-(3x-5)-(4x-7)$
$y=-3x+5-4x+7$
$y=-7x+12$

Линейная функция, графиком является прямая, проходящая через точки $(0; 12)$ и $(1; 5)$.

На промежутке $[\frac{5}{3};\frac{7}{4}]$ первое подмодульное выражение положительное, его снимаем со знаком плюс, второе - отрицательное, его снимаем со знаком минус.
Функция принимает вид:

$y=3x-5-(4x-7)$
$y=3x-5-4x+7$
$y=-x+2$

Линейная функция, графиком является прямая, проходящая через точки $(\frac{5}{3}; \frac{1}{3})$ и $(\frac{7}{4}; \frac{1}{4})$.

На промежутке $(\frac{7}{4};+\infty)$ оба подмодульных выражения положительны, значит, снимаем модули со знаком плюс.
Функция принимает вид:

$y=3x-5+4x-7$
$y=7x-12$

Линейная функция, графиком является прямая, проходящая через точки $(3; 9)$ и $(4; 16)$.

Построим график функции(см. рис.)

При $p=\frac{1}{4}$ прямая y=p имеет с графиком ровно одну общую точку.