Решите систему уравнений:...

Решите систему уравнений: $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=5 & & \\ xy=2 & & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=5 & & \\ xy=2 & & \end{matrix}\right.$

Решим систему методом подстановки: выразим из второго уравнения $x$ и подставим полученное значение в первое уравнение:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=5 & & \\ x=\frac{2}{y} & & \end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix} (\frac{2}{y})^{2}+y^{2}=5 & & \\ x=\frac{2}{y} & & \end{matrix}\right.$

Первое уравнение получилось с одной переменной, решим его:

$(\frac{2}{y})^{2}+y^{2}=5$

$\frac{4}{y^{2}}+y^{2}=5$

$\frac{4}{y^{2}}+y^{2}-5=0$

$\frac{4+y^{4}-5y^{2}}{y^{2}}=0$

$\frac{y^{4}-5y^{2}+4}{y^{2}}=0$

Дробь равна $0$ тогда и только тогда, когда числитель равен $0$, при этом знаменатель не равен $0$.

ОДЗ: $y^{2}\neq 0$, т.е. $y\neq 0$.

$y^{4}-5y^{2}+4=0$

Получили биквадратное уравнение, решим его заменой:

$y^{2}=t, t > 0$ Равенство $0$ исключаем, согласуя с ОДЗ.

$t^{2}-5t+4=0$

$a=1$, $b=-5$, $c=4$

$D=b^{2}-4ac$

$D=(-5)^{2}-4*1*4=25-16=9$

$t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

$t_{1}=\frac{5+ \sqrt{9}}{2}=\frac{5+3}{2}=\frac{8}{2}=4$

$t_{2}=\frac{5- \sqrt{9}}{2}=\frac{5-3}{2}=\frac{2}{2}=1$

Возвращаемся к замене:

$y^{2}=4$ и $y^{2}=1$

Т.е. $y=\pm 2$ и $y=\pm 1$

Так как $x=\frac{2}{y}$, получим:

$y_{1}=2; x_{1}=\frac{2}{2}=1$

$y_{2}=-2; x_{2}=\frac{2}{-2}=-1$

$y_{3}=1; x_{3}=\frac{2}{1}=2$

$y_{4}=-1; x_{4}=\frac{2}{-1}=-2$

Ответ: $(1; 2), (-1;-2), (2;1), (-2;-1)$