Докажите, что вписанный угол, равный...

Докажите, что вписанный угол, равный $45^{\circ}$, опирается на дугу, равную четверти окружности.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и вписанный угол $ABC=45^{\circ}$ (см. рис.).
По теореме: вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Значит, $\angle AOC=2\angle ABC=2\cdot 45^{\circ}=90^{\circ}$
Центральный угол равен дуге, на которую он опирается. Значит, дуга $ADC=90^{\circ}$.
Вся окружность составляет $360^{\circ}$, тогда $ADC$ составляет $\frac{90{^{\circ}}}{360^{\circ}}=\frac{1}{4}$ часть.