Установка двух счётчиков воды (холодной и горячей) стоит 3500 рублей. До установки счётчиков за воду платили 1700 рублей ежемесячно. После установки счётчиков ежемесячная оплата воды стала составлять 1100 рублей. Через какое наименьшее количество месяцев экономия по оплате воды превысит затраты на установку счётчиков, если тарифы на воду не изменятся?

Смотреть решение

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Нижнем Новгороде (Горьком) за каждый месяц 1994 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наименьшую среднемесячную температуру в 1994 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Смотреть решение

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки $1$ см х $1$ см (см. рис. 39). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Смотреть решение

Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем $36,9^{\circ} С$, равна $0,84$. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется $36,9^{\circ} С$ или выше.

Смотреть решение

Найдите корень уравнения $(\frac{1}{3})^{x-8}=\frac{1}{9}$

Смотреть решение

Площадь ромба равна 52. Одна из его диагоналей равна 4. Найдите другую диагональ.

Смотреть решение

На рисунке изображены график функции $y = f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_{0}$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_{0}$.

Смотреть решение

Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (см. рис.) (все двугранные углы прямые).

Смотреть решение

Найдите значение выражения $\sqrt{85^2-84^2}$

Смотреть решение

Зависимость объёма спроса $q$ (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены $p$ (тыс. руб. за ед.) задаётся формулой $q=100-10p$. Выручка предприятия $r$(в тыс. руб. за месяц) вычисляется по формуле $r(p)=q\cdot p$. Определите наибольшую цену $p$, при которой месячная выручка $r(p)$ составит не менее $240$ тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб. за ед.

Смотреть решение

Два мотоциклиста выехали одновременно из города $A$ в город $B$, расстояние между которыми $171$ км. Известно, что за час первый мотоциклист проезжает на $40$ км больше, чем второй. Найдите скорость второго мотоциклиста, если он прибыл в пункт $B$ на $2,5$ часа позже первого мотоциклиста. Ответ дайте в км/ч.

Смотреть решение

Найдите точку минимума функции $y=x\sqrt{x} – 9x + 724$.

Смотреть решение

а) Решите уравнение $(\frac{2}{5})^{cosx}+(\frac{5}{2})^{cosx}=2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-3\pi; \frac{3\pi}{2}]$

Смотреть решение

В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны $1$.

а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки $F_1, A$ и $C$.

б) Найдите расстояние от точки $F_1$ до прямой $AC$.

Смотреть решение

Решите неравенство
\[\small \frac{2 \cdot 8^{x-1}}{2 \cdot 8^{x-1}-1} \geq \frac{3}{8^{x-1}-1} + \frac{8}{64^x-5 \cdot 8^x + 4} \]

Смотреть решение

Окружность с центром $O$, вписанная в равнобедренный треугольник $KLM$, касается боковой стороны $KL$ в точке $B$, а основания $ML$ — в точке $A$. Вторая окружность с центром $O_1$ касается основания $ML$ и продолжений боковых сторон.

а) Докажите, что треугольник $OLO_1$ прямоугольный.
б) Найдите радиус второй окружности, если известно, что радиус первой равен 6 и $AK = 16$.

Смотреть решение

В июле планируется взять кредит в банке на сумму $8$ млн рублей сроком на $10$ лет. Условия его возврата таковы:

-каждый январь долг возрастает на $x$% по сравнению с концом предыдущего года;

-с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

-в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите $x$, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более $1,36$ млн рублей, а наименьший - не менее $0,856$ млн рублей.

Смотреть решение

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых решение неравенства $\frac{(2\sqrt{x}-a)(a-x)}{\sqrt{3-a^{2}-x^{2}}} \geq 0$ отрезок длины не менее $0,5$.

Смотреть решение

На доске записаны числа $1,2,3,...,33$. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых больше $66$ и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.

а) Приведите пример последовательных пяти ходов.

б) Можно ли сделать $11$ ходов?

в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?

Смотреть решение