Бегун пробежал $320$ м за $40$ секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции. Ответ дайте в километрах в час.

Смотреть решение

На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в городе $N$ с $4$ по $17$ февраля $1909$ года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа впервые выпало $6$ миллиметров осадков.

Смотреть решение

Найдите длину диагонали прямоугольника, вершины которого имеют координаты $($-$2; 1)$, $(-2; 5)$, $($-$5; 1)$, $($-$5; 5)$.

Смотреть решение

На экзамене по физике студент отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Механика», равна $0,25$. Вероятность того, что это вопрос по теме «Электричество», равна $0,3$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене студенту достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Смотреть решение

Найдите корень уравнения $\frac{1}{2x+5}=\frac{1}{3x-5}.$

Смотреть решение

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ}$, $BC = 18$, $cos A = \frac{5\sqrt{26}}{26}$. Найдите $AC$.

Смотреть решение

На рисунке изображён график функции $y=f'(x)$ - производной функции $f(x)$. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции $y=f(x)$ параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

Смотреть решение

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает $20$ см (см. рис.). На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в два раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Смотреть решение

Найдите значение выражения $\sqrt{65^2-56^2}$

Смотреть решение

Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу $m = 2240$ тонн, представляют собой две пустотелые балки длиной $l = 14$ метров и шириной $s$ метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой $p = \frac{mg}{2ls}$, где $m$ - масса экскаватора (в тоннах), $l$ - длина балок в метрах, $s$ - ширина балок в метрах, $g$ - ускорение свободного падения (считайте $g = 10 м/с^{2}$).

Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление $p$ не должно превышать $400$ кПа. Ответ выразите в метрах.

Смотреть решение

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 98 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 7 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 7 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч

Смотреть решение

Найдите наибольшее значение функции $y=2x^2-13x+9\ln x+8$ на отрезке $\left[\frac{13}{14};\frac{15}{14}\right]$.

Смотреть решение

а) Решите уравнение $\frac{2cosx+1}{tgx-\sqrt{3}}=0$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2\pi; \frac{7\pi}{2}]$

Смотреть решение

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDAA_1B_1C_1D_1$ известны ребра $AB = 5, AD = 3, AA_1 = 8$. Точка $R$ принадлежит ребру $AA_1$ и делит его в отношении $3 : 5$, считая от вершины $A$.

а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $B, R$ и $D_1$.

б) Найдите площадь этого сечения.

Смотреть решение

Решите неравенство \[\frac{2^{2x+1}-96*0,5^{2x+3}+2}{x+1}\leq 0\]

Смотреть решение

В окружность с центром $O$ вписан остроугольный треугольник $ABC$, в котором проведена медиана $BK$, причём $\angle KBC = \angle OCB$.

а) Докажите, что точка $O$ лежит на медиане $BK$.

б) Найдите площадь треугольника $AOB$, если $\angle ABC = 60^{\circ}$,
$AB = 4\sqrt{3}$.

Смотреть решение

По вкладу «А» банк в конце каждого года планирует увеличивать на 10% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивать эту сумму на 5% в первый год и на одинаковое целое число $n$ процентов и за второй, и за третий годы. Найдите наименьшее значение $n$, при котором за три года хранения вклад «Б» окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов.

Смотреть решение

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
\[\small \begin{cases} & (x-3a+1)^2+(y+2a)^2=a-1 \\ & 4x+3y=a+1 \end{cases}\]
имеет более одного решения.

Смотреть решение

Бесконечная арифметическая прогрессия $a_1, a_2, ..., a_n,...$ состоит из различных натуральных чисел.

а) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел $a_1, a_2, ..., a_7$ ровно три числа делятся на 100?

б) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел $a_1, a_2, ..., a_{49}$ ровно 11 чисел делятся на 100?

в) Для какого наибольшего натурального n могло оказаться так, что среди чисел $a_1, a_2, ..., a_{2n}$ больше кратных 100, чем среди чисел $a_{2n+1}, a_{2n+2}, ..., a_{5n}$?

Смотреть решение