Дана последовательность натуральных...

Дана последовательность натуральных чисел, в которой каждое число, кроме первого и последнего, больше среднего арифметического соседних с ним членов этой последовательности.

а) Приведите пример последовательности, состоящей из пяти членов, с суммой, равной $50$.

б) Может ли в последовательности из пяти членов быть два равных между собой?

в) Какая минимальная сумма может быть в последовательности из шести членов?

а) Пример: $(2,7,11,14,16)$.

б) Да, может. Пример: $(6,7,7,6,3)$.

в) Пусть первое и шестое числа равны $1$ (наименьшие натуральные числа). Рассмотрим последовательность $(1,a,b,c,d,1)$.

Заметим, что ни одно из натуральных чисел $a,b,c,d$ не может быть равно единице, в противном случае нарушено условие: каждое число больше среднего арифметического соседних с ним чисел (кроме первого и последнего). Если предположить, что $a=2$, тогда
из условия $a>\frac{1+b}{2}$ следует, что $4 > 1 + b$, $b < 3$, $b = 2$, что невозможно. Действительно, при $b=2$ в последовательности $(1,2,2,c,d,1)$ число $c$ может принимать только одно значение, равное $1$, что невозможно. Итак, $a\neq 2$.

Пусть $a=3$. Из условия $a>\frac{1+b}{2}$ следует, что $3>\frac{1+b}{2}$ или $b < 5$, то есть $b=2$,
$b=3$, $b = 4$. Легко убедиться, что $b\neq2$, $b\neq 3$. Рассуждая аналогично, получим: $c=4$, $d=3$. $(1,3,4,4,3,1)$. Минимальная сумма равна $16$.

$Ответ:$ а) $(2,7,11,14,16)$; б) да; в) $16$.