а) Решите уравнение...

а) Решите уравнение $log_{x}^{2}\sqrt{2} = 2 - \frac{ln\sqrt{2}}{lnx}$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
$(0,8; 1]$.

а) $\textit {План решении}$.

1.Найдем ОДЗ.

2. Перейдем к логарифмам с одинаковым основанием.

3. Сделаем замену переменной так, чтобы получить квадратное уравнение.

4. Решим квадратное уравнение.

5. Вернемся к исходной переменной.

6. Среди значений переменной, найденных на предыдущем шаге, отберем те, которые принадлежат ОДЗ.

$\textit {Решение}$.

1. ОДЗ: $x>0$, $x \neq 1$.

2. $log_{x}^{2}\sqrt{2} = 2 - \frac{ln\sqrt{2}}{lnx}$; $log_{x}^{2}\sqrt{2} = 2-log_{x}\sqrt{2}$, $log_{x}^{2}\sqrt{2}-2=0$.

3. Пусть $log_{x}\sqrt{2}=t$.

$t^{2}+t-2=0$.

4. $t_{1}=-2$; $t_{2}=1$.

5. $log_{x}\sqrt{2}=-2$, $x_{1}=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$;

$log_{x}\sqrt{2}=1$, $x_{2}=\sqrt{2}$.

6. $x=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$ и $x=\sqrt{2}$ принадлежат ОДЗ.

б) Так как в пункте а) было получено конечное число корней, то проверим каждый из них. Чтобы сравнить найденные значения корней с концами промежутка, при необходимости будем избавляться от иррациональностей путём возведения обеих частей проверяемых неравенств в соответствующую степень.

$\sqrt{2}>1$, следовательно, $\sqrt{2} \notin (0,8;1]$.

$\sqrt[4]{2}>1$, следовательно, $\frac{1}{\sqrt[4]{2}}<1$.

Проверим, выполняется ли неравенство $\frac{1}{\sqrt[4]{2}}>0,8 = \frac{4}{5}$. Это неравенство справедливо только в том случае, если $\sqrt[4]{2}<\frac{5}{4}$. Так как в левой и правой части последнего неравенства стоят положительные числа, то оно выполняется только если $(\sqrt[4]{2})^{4} < (\frac{5}{4})^{4}$, то есть $2<\frac{625}{256}$. Это неравенство справедливо, значит, $\frac{1}{\sqrt[4]{2}} > 0,8$.

$\textit {Ответ:}$ а) $\sqrt{2}$; $\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$; б) $\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$.