Задание 14. Сложная стереометрия

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с вершиной $S$ равны 6. Основание высоты $SO$ этой пирамиды является серединой отрезка $SS_1$, $M$ — середина ребра $AS$, точка $L$ лежит на ребре $BC$ так, что $BL:LC = 1:2$.

а) Докажите, что сечение пирамиды $SABCD$ плоскостью $S_1LM$ — равнобокая трапеция.

б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.

Дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, все рёбра которой равны 4. Через точки $A$, $C_1$ и середину $T$ ребра $A_1B_1$ проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямо-угольным треугольником.

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью $ABC$.

В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 12 и радиусом основания 6 проведена хорда $AB$, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр $CD$, перпендикулярный $AB$. Построено сечение $ABNM$, проходящее через прямую $AB$ перпендикулярно прямой $CD$ так, что точка $C$ и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр $CD$, лежат с одной стороны от сечения.

а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.

б) Найдите объём пирамиды $CABNM$.

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все рёбра равны $5$. На его ребре $BB_1$ отмечена точка $K$ так, что $KB = 4$. Через точки $K$ и $C_1$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная прямой $BD_1$.

а) Докажите, что $A_1P : PB_1 = 3 : 1$, где $P$ — точка пересечения плоскости $\alpha$ с ребром $A_1B_1$.

б) Найдите угол наклона плоскости $\alpha$ к плоскости грани $BB_1C_1C$.

В основании правильной треугольной пирамиды $ABCD$ лежит треугольник $ABC$ со стороной, равной $6$. Боковое ребро пирамиды равно $4$. Через такую точку ребра $AD$, что $AT:TD=3:1$, параллельно прямым $AC$ и $BD$ проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.

б) Найдите площадь сечения.

Точки $P$ и $Q$ - середины ребер $AD$ и $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $B_1$ и $QB$ перпендикулярны.

б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку $P$ и перпендикулярной прямой $BQ$, если ребро куба равно $4$.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDAA_1B_1C_1D_1$ известны ребра $AB = 5, AD = 3, AA_1 = 8$. Точка $R$ принадлежит ребру $AA_1$ и делит его в отношении $3 : 5$, считая от вершины $A$.

а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $B, R$ и $D_1$.

б) Найдите площадь этого сечения.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны ребра $AB = 6, BC = 6, CC_1 = 4$.

а) Докажите, что плоскость $BDD_1$ перпендикулярна отрезку $AC$.

б) Найдите тангенс угла между плоскостями $ACD_1$ и $A_1B_1C_1$.

Отрезок, соединяющий вершину $A$ ромба $ABCD$ с серединой стороны $BC$, равен стороне ромба.

а) Докажите, что высота ромба, проведенная из вершины $C$, делит сторону $AD$ на отрезки, один из которых втрое больше другого.

б) Найдите диагональ $AC$ ромба, если известно, что сторона ромба равна $\sqrt{6}$

Прямые, содержащие ребра $DA$ и $BC$ треугольной пирамиды $DABC$, взаимно перпендикулярны, $DA = 10, BC = 24$.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра $BD$ и параллельной прямым $AD$ и $BC$.

б) Найдите расстояние между серединами ребер $BD$ и $AC$.

В правильной шестиугольной призме $A…F_1$ все ребра равны $10$.

а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки $E, B_1$ и $C_1$.

б) Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $B_1C_1$.

В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны $1$.

а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки $F_1, A$ и $C$.

б) Найдите расстояние от точки $F_1$ до прямой $AC$.

Длина диагонали куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна $3$. На луче $A_1C$ отмечена точка $P$ так, что $A_1P = 4$

А) Докажите, что грань $PBDC_1$ – правильный тетраэдр

Б) Найдите длину отрезка $AP$

Сечение прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $BD1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.

а) Докажите, что грань $ABCD$ - квадрат.
б) Найдите угол между плоскостью $\alpha$ и $BCC_1$, если $AA_1=6, AB=4$

В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со стороной $AB=4$ и диагональю $BD=7$. Все боковые ребра пирамиды равны $4$. На диагонали $BD$ основания $ABCD$ отмечена точка $E$, а на ребре $AS$ - точка $F$ так, что $SF=BE=3$.

а) Докажите, что плоскость $CEF$ параллельна ребру $SB$.
б) Плоскость $CEF$ пересекает ребро $SD$ в точке $Q$. Найдите расстояние от точки $Q$ до плоскости $ABC$.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ стороны оснований $AB$ и $BC$ равны соответственно $6$ и $4$, а боковое ребро равно $3$. На ребре $A_1B_1$ отмечена точка $M$, а на луче $BC$ — точка $F$, причём $A_1M = MB_1$ и $BF = AB$. Плоскость $AMF$ пересекает ребро $CC_1$ в точке $N$.

а) Докажите, что $CN : C_1N = 2 : 1$.

б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости сечения

В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ сторона основания равна $7$, а боковое ребро - $12$. На рёбрах $A_{1}D_{1}$, $C_{1}D_{1}$ и $CB$ взяты точки $F, K, L$ соответственно так, что $A_{1}F=C_{1}K=CL=3$.

а) Пусть $P$ - точка пересечения плоскости $FKL$ с ребром $AB$. Докажите, что $FKLP$ - прямоугольник.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $FKL$

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит ромб $ABCD$ с диагоналями $AC = 16$ и $BD = 12$.

а) Докажите, что прямые $BD_1$ и $AC$ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми $BD_1$ и $AC$, если известно, что боковое ребро призмы равно $24$.

В правильной треугольной пирамиде $BMNK$ с основанием $MNK$ сторона основания равна $6$, а высота пирамиды равна $3$. На рёбрах $MN$, $MK$ и $MB$ соответственно отмечены точки $F$, $E$ и $P$, такие, что $MF = ME = \frac{\sqrt{21}}{2}$ и $MP=\frac{7}{4}$.


а) Докажите, что плоскости $FEP$ и $NBK$ параллельны.
б) Найдите расстояние от точки $P$ до плоскости $NBK$.

В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ сторона основания $AB=4\sqrt{2}$, боковое ребро $AA_{1}=8$, $M$ середина ребра $A_{1}B_{1}$.

На ребре $DD_{1}$ отмечена точка $L$ так,что $DL=2$. Плоскость $\gamma$ параллельна прямой $A_{1}C_{1}$ и содержит точки $M$ и $A$.

а) Докажите, что прямая $BL$ перпендикулярна плоскости $\gamma$.

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой точка $B$, а основание - сечение данной пирамиды плоскостью $\gamma$.

В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ на ребре $CC_{1}$ взята точка $K$ так, что $CK:KC_{1} = 1:2$.

а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки $D$ и $K$ параллельно диагонали основания $AC$.

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания, если $CC_{1} = 4,5\sqrt{2}$, $AB=3$.

Дана правильная четырёхугольная пирамида $SMNPQ$ с вершиной в точке $S$, сторона основания равна $7$, а плоский угол при вершине пирамиды равен $90^{\circ}$.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ $NQ$ основания параллельно боковому ребру $PS$.

б) Найдите площадь сечения.

Основанием прямой призмы $ADCA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ является ромб с острым углом $A$, равным $60^{\circ}$. Все рёбра этой призмы равны $8$. Точки $P$ и $M$ — середины рёбер $AA_{1}$ и $A_{1}D_{1}$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $PB$ и $PM$ перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями $PMB$ и $AA_{1}D$.

На рёбрах $AD$ и $BD$ правильного тетраэдра $DABC$ взяты точки $M$ и $K$ соответственно так, что $MD : AM = BK : KD = 2$.

а) Пусть $L$ - точка пересечения прямой $KM$ с плоскостью $ABC$. Докажите, что $AB : AL = 3$.

б) Найдите угол между прямой $KM$ и плоскостью $ABC$.