Задание 16. Планиметрия

Окружность с центром $O$, вписанная в равнобедренный треугольник $KLM$, касается боковой стороны $KL$ в точке $B$, а основания $ML$ — в точке $A$. Вторая окружность с центром $O_1$ касается основания $ML$ и продолжений боковых сторон.

а) Докажите, что треугольник $OLO_1$ прямоугольный.
б) Найдите радиус второй окружности, если известно, что радиус первой равен 6 и $AK = 16$.

Стороны $KN$ и $LM$ трапеции $KLMN$ параллельны, прямые $LM$ и $MN$ — касательные к окружности, описанной около треугольника $KLN$.

а) Докажите, что треугольники $LMN$ и $KLN$ подобны.
б) Найдите площадь треугольника $KLN$, если известно, что $KN = 3$, a $\angle LMN = 120°$

Окружность, проходящая через вершины $A$, $C$ и $D$ прямоугольной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, пересекает меньшую боковую сторону $AB$ в точке $P$ и касается прямой $BC$. Известно, что $AD = CD$.

а) Докажите, что $CP$ — биссектриса угла $ACB$.
б) В каком отношении прямая $DP$ делит площадь трапеции?

В треугольнике $ABC$ проведены две высоты $BM$ и $CN$, причем $AM:CM=2:3$ и $cos \angle BAC=\frac{2}{\sqrt{5}}$

а) Докажите, что угол $ABC$ тупой.
б) Найдите отношение площадей треугольников $BMN$ и $ABC$.

Прямая, проходящая через вершину $B$ прямоугольника $ABCD$, перпендикулярна диагонали $AC$ и пересекает сторону $AD$ в точке $M$, равноудаленной от вершин $B$ и $D$.

а) Докажите, что $BM$ и $BD$ делят угол $B$ на три равных угла.
б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника $ABCD$ до прямой $CM$, если $BC=6\sqrt{21}$

Дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Окружность с центром $O$, построенная на боковой стороне $AB$ как на диаметре, касается боковой стороны $CD$ и второй раз пересекает большее основание $AD$ в точке $H$, точка $Q$ — середина $CD$.

а) Докажите, что четырёхугольник $DQOH$ — параллелограмм.

б) Найдите $AD$, если $\angle BAD = 67,5°$ и $BC = 3$.

К окружности, вписанной в квадрат $ABCD$, проведена касательная, пересекающая стороны $AB$ и $AD$ в точках $M$ и $N$ соответственно.

а) Докажите, что периметр треугольника $AMN$ равен стороне квадрата.

б) Прямая $MN$ пересекает прямую $CD$ в точке $P$. В каком отношении делит сторону $BC$ прямая, проходящая через точку $P$ и центр окружности, если $AM:MB=1:2$?

Прямая, проходящая через середину $M$ гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$, перпендикулярна $CM$ и пересекает катет $AC$ в точке $K$. При этом $AK:KC=1:2$.

а) Докажите, что $\angle BAC = 30^{\circ}$

б) Пусть прямые $MK$ и $BC$ пересекается в точке $P$, а прямые $AP$ и $BK$ - в точке $Q$. Найдите $KQ$, если $BC=\sqrt{21}$

В треугольнике $ABC$ проведены высоты $AM$ и $BN$. На них из точек $M$ и $N$ опущены перпендикуляры $MK$ и $NF$ соответственно:

а) Докажите, что прямые $KF$ и $AB$ параллельны.

б) Найдите отношение $KF : AB$, если $\angle ACB = 60^{\circ}$.

Точка $M$ - центр окружности, описанной около остроугольного треугольника $NPK, Q$ - центр вписанной в него окружности, $W$ - точка пересечения высот. Известно, что $\angle PNK = \angle MPK + \angle MKP$.

а) Докажите, что точка $Q$ лежит на окружности, описанной около треугольника $PMK$

б) Найдите угол $MQW$, если $\angle NPK = 47^{o}$.

Точка $E$ - середина боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD$. На её стороне $AB$ взяли точку $K$ так, что прямые $CK$ и $AE$ параллельны. Отрезки $CK$ и $BE$ пересекаются в точке $O$.

а) Докажите, что $CO=KO$.

б) Найдите отношение оснований трапеции $BC:AD$, если площадь треугольника $BCK$ составляет $\frac{9}{64}$ площади всей трапеции $ABCD$.

В трапеции $ABCD$, в которой $AD \parallel BC$, точка $O$ - точка пересечения диагоналей трапеции. Через эту точку проведена прямая, параллельная основаниям и пересекающая боковые стороны в точках $M$ и $N$.

а) Докажите, что $MO=ON$

б) Найдите отношение $\frac{BC}{AD}$, если $\frac{BD}{OB}=\frac{5}{2}$.

В трапеции $ABCD$ точка $M$ — середина основания $AD$, точка $N$ выбрана на стороне $AB$ так, что площадь четырёхугольника $ANLM$ равна площади треугольника $CLD$, где $L$ — точка пересечения отрезков $CM$ и $DN$.

а) Докажите, что $N$ — середина стороны $AB$.

б) Найдите, какую часть от площади трапеции $ABCD$ составляет площадь четырёхугольника $ANLM$, если $BC = 5$, $AD = 8$.

Окружность, вписанная в остроугольный треугольник $ABC$, касается сторон $BA$ и $BC$ в точках $M$ и $N$.

а) Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник $BMN$, лежит на окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

б) Найдите расстояние между центрами этих окружностей, если $AB = 10$, $AC = 12$, $sinA = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

В окружность с центром $O$ вписан остроугольный треугольник $ABC$, в котором проведена медиана $BK$, причём $\angle KBC = \angle OCB$.

а) Докажите, что точка $O$ лежит на медиане $BK$.

б) Найдите площадь треугольника $AOB$, если $\angle ABC = 60^{\circ}$,
$AB = 4\sqrt{3}$.

$ABCD$ — прямоугольник. Окружность с центром в точке $B$ радиусом $AB$ пересекает продолжение стороны $AB$ в точке $E$. Прямая $EC$ пересекает прямую $AD$ в точке $K$, а окружность во второй раз — в точке $F$.

а) Докажите, что $DK = DF$.

б) Найдите $KC$, если $BF = 20$, $DF = 21$.

В окружность вписана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, один из углов которой равен $60^{\circ}$. В трапецию вписана ещё одна окружность.

а) Докажите, что центр описанной окружности трапеции лежит внутри трапеции.

б) Найдите, во сколько раз $CD$ больше радиуса окружности, касающейся сторон $AB$, $AD$ и вписанной окружности трапеции $ABCD$, если $AD > BC$.