Задание 19. Числа и их свойства

Будем называть четырёхзначное число интересным, если среди четырёх цифр в его десятичной записи нет нулей, а одна из этих цифр равна сумме трёх других из них. Например, интересным является число 6321.

а) Приведите пример двух интересных четырёхзначных чисел, разность между которыми равна трём.

б) Найдутся ли два интересных четырёхзначных числа, разность между которыми равна 111?

в) Найдите наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему интересного четырёхзначного числа.

Бесконечная арифметическая прогрессия $a_1, a_2, ..., a_n,...$ состоит из различных натуральных чисел.

а) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел $a_1, a_2, ..., a_7$ ровно три числа делятся на 100?

б) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел $a_1, a_2, ..., a_{49}$ ровно 11 чисел делятся на 100?

в) Для какого наибольшего натурального n могло оказаться так, что среди чисел $a_1, a_2, ..., a_{2n}$ больше кратных 100, чем среди чисел $a_{2n+1}, a_{2n+2}, ..., a_{5n}$?

Возрастающие арифметические прогрессии $a_1, a_2, ..., a_n, ...$ и $b_1, b_2, ..., b_n, ...$ состоят из натуральных чисел.

а) Существуют ли такие прогрессии, для которых $\frac{a_1}{b_1}, \frac{a_2}{b_2}$ и $\frac{a_4}{b_4}$ - различные натуральные числа?

б) Существуют ли такие прогрессии, для которых $\frac{a_1}{b_1}, \frac{b_2}{a_2}$ и $\frac{a_4}{b_4}$ - различные натуральные числа?

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь $\frac{a_2}{b_2}$, если известно, что $\frac{a_1}{b_1}, \frac{a_2}{b_2}$ и $\frac{a_{10}}{b_{10}}$ - различные натуральные числа?

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100

а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

На доске записаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18. За один ход разрешается стереть произвольно три числа, сумма которых меньше 27 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.

а) Приведите пример последовательных четырёх ходов.

б) Можно ли сделать 6 ходов?

в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?

Множество чисел назовём красивым, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.

а) Является ли множество ${500;501;502...599}$ красивым?

б) Является ли множество ${5;25;125;...5^{100}}$ красивым?

в) Сколько красивых четырёхэлементных подмножеств у множества ${1;3;5;6;7;9;14}$?

На доске записаны числа $1,2,3,...,33$. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых больше $66$ и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.

а) Приведите пример последовательных пяти ходов.

б) Можно ли сделать $11$ ходов?

в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?

На доске записаны числа 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,... 18. За один ход разрешается стереть произвольно три числа, сумма которых меньше 32 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стертых на предыдущих ходах.

а) Приведите пример последовательных трёх ходов.

б) Можно ли сделать 5 ходов?

в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?

Множество чисел назовём отличным, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.

а) Является ли множество {300; 301; 302;...399} отличным?

б) Является ли множество {3; 9; 27;... $3^{100}$} отличным?

в) Сколько отличных четырёхэлементных подмножеств у множества {1; 4; 5; 7; 8; 10; 17}?

Дана последовательность натуральных чисел, в которой каждое число, кроме первого и последнего, больше среднего арифметического соседних с ним членов этой последовательности.

а) Приведите пример последовательности, состоящей из пяти членов, с суммой, равной $50$.

б) Может ли в последовательности из пяти членов быть два равных между собой?

в) Какая минимальная сумма может быть в последовательности из шести членов?

Все члены последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в $7$ раз больше, либо в $7$ раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна $2745$.

а) Может ли последовательность состоять из двух членов?

б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

На столе перед нумизматом лежит $2025$ монет орлом кверху. За один ход нумизмат переворачивает любые $6$ различных монет. Разрешается переворачивать и те монеты, которые уже были задействованы в предыдущих ходах.

а) Может ли после нескольких ходов ровно $16$ монет оказаться кверху решкой?

б) Может ли после нескольких ходов ровно $9$ монет оказаться кверху решкой?

в) Какое наименьшее число монет может оказаться кверху орлом в результате конечного числа ходов?

В ряд выписаны $n$ натуральных чисел. Сумма любых пяти последовательных чисел равна $20$.

а) Возможно ли, что сумма всех чисел равна $8071$, если $n=2015$?

б) Возможно ли, что сумма всех чисел равна $8071$. если $n=2017$?

в) Для каждого $n (n \geq 5)$ определите, сколько различных значений может принимать сумма $n$ чисел с таким свойством.

а) Дана непостоянная арифметическая прогрессия с натуральными членами $a_{n}$. Последовательность $c_{n}$ сформирована по правилу $c_{n}=a_{n}^{2}+a_{n+2}^{2}$. Сколько простых членов подряд может быть у последовательности $c_{n}$?

б) Дана геометрическая прогрессия $b_{n}$ с натуральными членами и простым знаменателем, $S_{k}=b_{1}+b_{2}+...+b_{k}$. Какое наибольшее количество подряд идущих членов последовательности $S_{k}$ могут быть простыми числами?

в) Дана геометрическая прогрессия $b_{n}$ с натуральными членами и простым знаменателем, $c_{n}=b_{1}n+b_{n+1}+b_{n+2}$. Какое наибольшее количество подряд идущих членов последовательности $c_{n}$ могут быть простыми числами?