Задание 10. Задачи с прикладным содержанием

Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление P (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле $P=\frac{4mg}{\pi D^2}$, где $m=7500$ кг - общая масса навеса и колонны, $D$ - диаметр колонны (в метрах). Считая, что ускорение свободного падения $g = 10$ м/$c^2$, а $\pi=3$, определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше 400 000 Па. Ответ выразите в метрах.

К источнику с ЭДС $\varepsilon = 55$ В и внутренним сопротивлением $r=0,5$ Ом, хотят подключить нагрузку с сопротивлением R Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, задаeтся формулой $U=\frac{\varepsilon R}{R+r}$. При каком значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет равно 50 В? Ответ выразите в Омах.

Мяч бросили под углом $\alpha$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полёта мяча (в секундах) определяется по формуле $t=\frac{2\nu _{0}sin\alpha }{g}$. При каком наименьшем значении угла $\alpha$ (в градусах) время полёта составит 2,3 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью $\nu _{0}=23$ м/с? Считайте, что ускорение свободного падения $g=10$ м/с$^{2}$.

При температуре $0^\circ {\rm{C}}$ рельс имеет длину $l_0 =10$ м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону $l(t^\circ ) = l_0 (1 + \alpha \cdot t^\circ )$, где $\alpha= 1,2\cdot 10^{ - 5}(^\circ {\rm{C}})^{-1}$ — коэффициент теплового расширения, $t^\circ$ — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Некоторая компания продает свою продукцию по цене $p=500$ руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют $v=300$ руб., постоянные расходы предприятия $f= 700000$ руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле $\pi(q)=q(p-v)-f$. Определите месячный объём производства $q$ (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна $300000$ руб.

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время $t$ падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле $h=5t^2$, где h — расстояние в метрах, $t$ — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло $0,6$ с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на $0,2$ с? Ответ выразите в метрах.

Зависимость объёма спроса $q$ (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены $p$ (тыс. руб. за ед.) задаётся формулой $q=100-10p$. Выручка предприятия $r$(в тыс. руб. за месяц) вычисляется по формуле $r(p)=q\cdot p$. Определите наибольшую цену $p$, при которой месячная выручка $r(p)$ составит не менее $240$ тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб. за ед.

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h(t)=1,6 + 8t - 5t^2$ , где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трeх метров?

При движении ракеты еe видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону $l = l_0 \sqrt {1 - \frac{{v^2 }}{{c^2 }}}$, где $l_0 = 5$ м — длина покоящейся ракеты, $c = 3 \cdot 10^5$ км/с — скорость света, а $v$ — скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы еe наблюдаемая длина стала не более $4$ м? Ответ выразите в км/с.

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому $P = \sigma ST^4$ , где $P$ — мощность излучения звезды (в Ваттах), $\sigma = 5,7 \cdot 10^{-8} \frac{\textrm{Вт}}{\textrm{м}^2\cdot\textrm{К}^4}$ — постоянная, $S$ — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а $T$ — температура (в Кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\frac{1}{{16}} \cdot 10^{20}$ м$^2$, а мощность её излучения равна не менее $9,12\cdot 10^{25}$ Вт. Найдите температуру этой звезды в Кельвинах.

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных изданий на основе показателей информативности $In$, оперативности $Op$ и объективности $Tr$ публикаций. Каждый отдельный показатель — целое число от $-5$ до $5$. Составители рейтинга считают, что информативность публикаций ценится втрое, а объективность — вдвое дороже, чем оперативность.

Таким образом, формула приняла вид $R=\frac{3In+Op+2Tr}{A}$.Найдите, каким должно быть число $A$, чтобы издание, у которого все показатели максимальны, получило бы рейтинг $60$.

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет изданий на основе оценок информативности $In$, оперативности $Op$, объективности $Tr$ публикаций, а также качества сайта $Q$. Каждый отдельный показатель - целое число от $0$ до $5$. Составители рейтинга считают, что объективность и информативность ценятся вдвое дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид $R=\frac{2In+Op+2Tr+Q}{A}$. Если по всем четырём показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число $A$, при котором это условие будет выполняться.

Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу $m = 2240$ тонн, представляют собой две пустотелые балки длиной $l = 14$ метров и шириной $s$ метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой $p = \frac{mg}{2ls}$, где $m$ - масса экскаватора (в тоннах), $l$ - длина балок в метрах, $s$ - ширина балок в метрах, $g$ - ускорение свободного падения (считайте $g = 10 м/с^{2}$).

Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление $p$ не должно превышать $400$ кПа. Ответ выразите в метрах.

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле $F_{a} = pgl^{3}$, где $l$ — длина ребра куба в метрах, $p = 1000$ $кг/м^{3}$ — плотность воды, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 9,8$ Н/кг). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем $153125$ Н? Ответ выразите в метрах.

Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте $h$ м над землёй, выраженное в километрах, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле $l = \sqrt{\frac{Rh}{500}}$, где $R=6400$ км - радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии $5,6$ км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до $6,4$ километров?

Небольшой мячик бросают под острым углом $a$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле $L = \frac{v_{0}^{2}}{g}sin2a$ (м), где $v_{o} = 14$ м/с — начальная скорость мячика, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g= 10$ м/с$^{2}$). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик перелетит реку шириной $9,8$ м?

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой $185$ МГц. Скорость погружения батискафа вычисляется по формуле $v = c\cdot \frac{f-f_{0}}{f+f_{0}}$, где $c = 1500$ м/с — скорость звука в воде, $f_{0}$ — частота испускаемых импульсов, $f$ — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна $20$ м/с.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a$ $км/ч^{2}$. Скорость $v$ вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав $0,7$ километра, приобрести скорость $98$ км/ч. Ответ выразите в $км/ч^{2}$.