Задание 17. Финансовая математика

По вкладу «А» банк в конце каждого года планирует увеличивать на 10% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивать эту сумму на 5% в первый год и на одинаковое целое число $n$ процентов и за второй, и за третий годы. Найдите наименьшее значение $n$, при котором за три года хранения вклад «Б» окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов.

По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект 10 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 15% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число $n$ млн рублей в первый и второй годы, а также целое число $m$ млн в третий и четвёртый годы. Найдите наименьшие значения $n$ и $m$, при которых первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, а за четыре года как минимум утроятся.

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 10 млн.

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $t^2$ тыс. рублей в конце года $t (t = 1; 2;...)$. В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в $1+r$ раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцатого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце девятого года. При каких положительных значениях $r$ это возможно?

Вкладчик внёс в банк S млн рублей, где S — целое число, под 20% годовых. По истечении двух лет он увеличил вклад на 3 млн рублей. Найдите наименьшее значение S, если за 4 года банк начислил ему более 6 млн рублей.

Вклад планируется положить на три года, он составляет целое число десятков тысяч рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на $10\%$ по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале второго и третьего годов вклад ежегодно пополняется на $30 000$ рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через три года он будет меньше $96 000$ рублей.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму $8$ млн рублей сроком на $10$ лет. Условия его возврата таковы:

-каждый январь долг возрастает на $x$% по сравнению с концом предыдущего года;

-с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

-в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите $x$, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более $1,36$ млн рублей, а наименьший - не менее $0,856$ млн рублей.

В конце сентября $2016$ года планируется взять кредит в банке на год. Условия его возврата таковы: в течение первого месяца каждого квартала долг увеличивается на $6$% по сравнению с долгом на конец предыдущего квартала;

— в течение второго месяца каждого квартала необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— долг на начало каждого квартала должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:

Виктория Игоревна взяла в банке кредит $1500000$ рублей на $5$ лет при условии:

- долг будет возвращаться пятью платежами, производимыми в конце каждого из пяти лет;

- имеющийся в начале каждого (начиная с первого) года долг будет в конце года увеличиваться на $15$%;

- в конце года, уже после начисления процентов, часть долга необходимо погасить в таком объёме, чтобы остаток был равен сумме, указанной в таблице:

В августе планируется взять кредит в банке на сумму $3$ млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на $20$% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июль каждый год необходимо выплатить часть долга;

— в августе каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на август предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит $5,1$ млн рублей?

Банк предлагает два вида вкладов: «Базовый» и «Активный». По вкладу «Базовый» начисляется $12$% годовых. По вкладу «Активный» банк предлагает $8$% годовых в первый год, $10$% годовых во второй год и $p$% за третий год. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Найдите наибольшее целое $p$, при котором трёхлетний вклад «Базовый» выгоднее, чем «Активный».

Иван положил в банк некоторую сумму денег на $4$ года. Перед началом каждого года он выбирает одну из двух схем начисления прибыли в наступающем году: 1) к его счёту прибавляется $10$% от находящейся на счёте суммы; 2) к его счёту прибавляется $5$% от находящейся на счёте суммы и $50$ тысяч рублей. Известно, что по прошествии $4$ лет Иван максимально может получить $417 967$ рублей прибыли, если будет оптимально выбирать схему начисления прибыли. Сколько рублей положил на счёт Иван? Если возможны несколько вариантов ответов, найдите хотя бы один.