Иван положил в банк некоторую сумму...

Иван положил в банк некоторую сумму денег на $4$ года. Перед началом каждого года он выбирает одну из двух схем начисления прибыли в наступающем году: 1) к его счёту прибавляется $10$% от находящейся на счёте суммы; 2) к его счёту прибавляется $5$% от находящейся на счёте суммы и $50$ тысяч рублей. Известно, что по прошествии $4$ лет Иван максимально может получить $417 967$ рублей прибыли, если будет оптимально выбирать схему начисления прибыли. Сколько рублей положил на счёт Иван? Если возможны несколько вариантов ответов, найдите хотя бы один.

План решения.

Заметим, что в качестве единицы измерения удобнее (но не обязательно!) взять тысячу рублей, а не рубль, чтобы не иметь дела с большими числами.

1. Найдём, при какой величине текущей суммы выгоднее выбирать первый способ начисления прибыли, а при какой — второй. Определим, что, пока текущая сумма меньше $1000$ тысяч рублей, выгоднее выбирать второй способ начисления прибыли, а когда она превысит $1000$ тысяч, то первый. Если сумма равна $1000$ тысяч, то схемы принесут одинаковую прибыль.

2. Попробуем решить задачу, предполагая, что сумма на счёте изначально не меньше $1000$ тысяч. Получим противоречие.

3. Попробуем решить задачу, предполагая, что сумма на счёте изначально меньше $1000$ тысяч, но после получения прибыли за первый год станет не меньше $1000$ тысяч. Если получим противоречие, предположим, что сумма на счёте станет не меньше $1000$ тысяч только после получения прибыли за второй год, и так далее, пока не получим подходящее решение.

Решение.

1. Пусть текущая сумма равна $S$ тысяч рублей, $S > 0$.

$(1+\frac{10}{100})S \geq (1+ \frac{5}{100})S +50$;

2. Пусть Иван положил в банк $x$ тысяч рублей, $x > 0$.

Если $x\geq 1000$, то максимальная прибыль равна $1,1^{4}\cdot x - x =$ $1,4641x - x =$ $0,4641x \geq 464,1$, что противоречит условию (по условию максимальная прибыль равна $417,967$ тысяч рублей).

3.1. Если $x < 1000$, но $1,05x + 50 \geq 1000$, то максимальная прибыль равна

$(1,05x+50)\cdot 1,1^{3}-x =$ $0,39755x + 66,55 = 417,967$, $x = \frac{351,417}{0,39755} < 900$. Но тогда
$1,05x + 50 < 1,05\cdot 900 + 50 < 1000$, что противоречит предположению.

3.2. $1,05x+50 < 1000$ и $(1,05x+50)\cdot 1,05 + 50 \geq 1000$. В этом случае максимальная прибыль равна

$((1,05x+50)\cdot 1,05 + 50)\cdot 1,1^{2} - x = 0,334025x + 124,025$.

Из уравнения $0,334025x + 124,025 = 417,967$ получим: $x=880$ (тысяч рублей). Убедимся, что при этом значении $x$ выполняются неравенства $1,05x+50 < 1000$ и $(1,05x + 50) \cdot 1,05 + 50 \geq 1000$.

Ответ: $880 000$.