а) Дана непостоянная арифметическая...

а) Дана непостоянная арифметическая прогрессия с натуральными членами $a_{n}$. Последовательность $c_{n}$ сформирована по правилу $c_{n}=a_{n}^{2}+a_{n+2}^{2}$. Сколько простых членов подряд может быть у последовательности $c_{n}$?

б) Дана геометрическая прогрессия $b_{n}$ с натуральными членами и простым знаменателем, $S_{k}=b_{1}+b_{2}+...+b_{k}$. Какое наибольшее количество подряд идущих членов последовательности $S_{k}$ могут быть простыми числами?

в) Дана геометрическая прогрессия $b_{n}$ с натуральными членами и простым знаменателем, $c_{n}=b_{1}n+b_{n+1}+b_{n+2}$. Какое наибольшее количество подряд идущих членов последовательности $c_{n}$ могут быть простыми числами?

а) Один из самых простых способов проверить, является ли натуральное число простым, — это проверить его чётность. Среди чётных чисел простым является только $2$.

Пусть $d$ — разность арифметической прогрессии. Тогда $a_{n+2} = a_{n}+2d$ и $d$ — целое ненулевое число ($d=a_{2}-a_{1}$), значит, $a_{n}$ и $a_{n+2}$ — различные числа одинаковой чётности. Отсюда $c_{n}=a_{n}^{2}+a_{n+2}^{2}$ чётно и больше $2$ (действительно, сумма квадратов двух различных нечётных натуральных чисел не меньше $1^{2}+3^{2}$, аналогично рассматриваются квадраты чётных чисел). Значит, $c_{n}$ не является простым ни при каком $n$.

б) $S_{k}=b_{1}(1+q+...+q^{k-1})$, где $q$ — знаменатель прогрессии. Будем рассматривать только случай $b_{1}=1$ (иначе существует не более одного простого числа среди $S_{k}$, хотя ровно одно $(b_{1})$ может быть простым). Вспомним, что число $1$ к простым по определению не относится.

Заметим, что если $q$ — нечётно, то все $b_{k}$ нечётны, а потому чётность чисел $S_{k}$ будет чередоваться, при этом при $k>2$ для всех $S_{k}$ выполняется неравенство $S_{k}\geq 1+3 > 2$. Значит, среди $S_{k}$ существует не более одного простого числа подряд.

Если же $q$ — чётное и простое, то $q=2$. Тогда $S_{k}=2^{k}-1$. В частности, $S_{1}=1$, $S_{2}=3$, $S_{3}=7$, $S_{4}=15$ и т. д.

Но $2^{2n}$ имеет остаток $1$ при делении на $3$, значит, $S_{2n}$ делится на $3$. То есть при $k>2$ любые члены $S_{k}$ и $S_{k+1}$ больше $3$ и один из них делится на $3$, то есть не более $1$ простого числа подряд. При $k=2$ числа $S_{k}$ и $S_{k+1}$ равны соответственно числам $3$ и $7$, то есть являются простыми. Таким образом, два простых числа подряд. Так как число $1$ не является простым, то трёх простых членов подряд среди $S_{k}$ нет.

Итак, среди чисел $S_{k}$ возможно не более двух простых чисел подряд. Пример: $b_{1}=1$, $q=2$; члены $S_{2}$ и $S_{3}$ — простые числа.

в) Здесь также будем рассматривать только случай $b_{1}=1$.

$c_{n}=n+q^{n}+q^{n+1}$.

Очевидно, что в последовательности чисел $c_{n}$ чередуется чётность членов. Так как при этом все $c_{n} > 2$, то возможно не более одного простого числа $c_{n}$ подряд.

Пример простого члена $c_{n}: q=2$, $n=1$, $c_{1}=7$.

Ответ: а) $0$; б) $2$; в) $1$.