На изготовление 780 деталей первый...

На изготовление 780 деталей первый рабочий тратит на 4 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 840 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 2 детали больше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий?

Пусть первый рабочий за час делает $x$ деталей; по условию, второй делает на 2 детали меньше, чем первый, значит второй за час делает $(x-2)$ деталей.

Время=работа$\div$производительность, первый рабочий на изготовление 780 деталей потратит $\frac{780}{x}$ часов, а второй на изготовление 840 деталей - $\frac{840}{x-2}$ часов.

Мы знаем, что на изготовление 780 деталей первый рабочий тратит на 4 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 840 таких же деталей, составим уравнение:
\[\frac{840}{x-2}-4=\frac{780}{x};\]
\[\frac{840-4\cdot (x-2)}{x-2}=\frac{780}{x}\]
\[\frac{848-4x}{x-2}=\frac{780}{x}\]
\[(848-4x)x=780(x-2)\]
\[848x-4x^{2}=780x-1560\]
\[x^{2}-17x-390=0\]

Найдем корни уравнения:
\[D=b^{2}-4ac=289-4\cdot 1\cdot (-390)=1849=43^{2}\]
\[x_{1}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{17+43}{2}=30\]
\[x_{2}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{17-43}{2}=-13\]

-13 не подходит, потому что количество деталей не может быть отрицательным. Таким образом, первый рабочий делает 30 деталей в час.