а) Решите уравнение...

а) Решите уравнение $\frac{5sin^{2}x-3sinx}{5cosx+4}=0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left [\frac{-7\pi }{2}; -2\pi \right ].$

а) Мы знаем, что на ноль делить нельзя, значит знаменатель не должен быть равен нулю $(5cosx+4)\neq 0$, это и будет ОДЗ.
\[5cosx\neq -4\]
\[cosx\neq -\frac{4}{5}\]
\[x\neq \pm \left (\pi -arccos\left (\frac{4}{5} \right ) \right )+2\pi n, n\epsilon \mathbb{Z}\]

Решим числитель уравнения:
\[5sin^{2}x-3sinx=0\]
\[sinx(5sinx-3)=0\]

Уравнение будет равно нулю, если один из множителей будет равен нулю:
\[sinx=0\]
\[x=\pi n, n\epsilon \mathbb{Z}\]

ИЛИ

\[5sinx-3=0\]
\[5sinx=3\]
\[sinx=\frac{3}{5}\]
\[x_{1}=arcsin\left (\frac{3}{5} \right )+2\pi n, n\epsilon \mathbb{Z}\]
\[x_{2}=\pi -arcsin\left (\frac{3}{5} \right )+2\pi n, n\epsilon \mathbb{Z}\]

Если $sinx=\frac{3}{5}$, то по основному тригонометрическому тождеству $cosx=\pm \sqrt{1-sin^{2}x}=\pm \sqrt{1-\frac{9}{25}}=\pm \frac{4}{5}$, но мы знаем, что $x\neq -\frac{4}{5}$. Значит, эта точка исключается, то есть исключается $x_{2}=\pi -arcsin\left (\frac{3}{5} \right )+2\pi n, n\epsilon \mathbb{Z}$.

Получаем два корня: $x=arcsin\left (\frac{3}{5} \right )+2\pi n, n\epsilon \mathbb{Z}$ и $x=\pi n, n\epsilon \mathbb{Z}$


б) Корни, принадлежащие отрезку $\left [\frac{-7\pi }{2}; -2\pi \right ]$, отберем с помощью единичной окружности (смотреть рисунок).

Получаем $-3\pi ; -2\pi .$


Ответ: а) $arcsin\frac{3}{5}+2\pi n; \pi n, n\epsilon \mathbb{Z};$ б) $-3\pi ; -2\pi .$