В ряд выписаны $n$ натуральных...

В ряд выписаны $n$ натуральных чисел. Сумма любых пяти последовательных чисел равна $20$.

а) Возможно ли, что сумма всех чисел равна $8071$, если $n=2015$?

б) Возможно ли, что сумма всех чисел равна $8071$. если $n=2017$?

в) Для каждого $n (n \geq 5)$ определите, сколько различных значений может принимать сумма $n$ чисел с таким свойством.

а) Невозможно. Найдём сумму всех чисел в явном виде. Разобьём ряд на группы по $5$ чисел. В первую группу войдут $5$ крайних чисел, в следующую числа с $6$-го по $10$-е и так далее. $2015$ делится нацело на $5$, поэтому весь ряд разделится на группы, число групп равно $2015 : 5 = 403$. По условию сумма чисел в каждой группе $20$. Значит, сумма всего ряда $403\cdot 20 = 8060$, и другая сумма получиться не может.

б) Возможно. Рассмотрим, например, ряд $8,3,3, 3, 3, 8, 3, 3, 3, 3$,$...$, $8, 3, 3, 3, 3, 8, 3$ состоящий из $403$ пятёрок вида $8,3,3,3,3$, $2016$-е число которого равно $8$, а $2017$-е равно $3$. Тогда сумма всех чисел равна $(8 + 3 + 3 + 3 + 3) \cdot 403 + 8 + 3 = 8071$.Проверим, что условие выполняется. Среди любых последовательных пяти чисел $4$ тройки и $1$ восьмёрка, поэтому их сумма будет равна $4\cdot 3 + 8 = 20$.

в) Будем исследовать возможные значения суммы в зависимости от остатка при делении $n$ на $5$. Если $n$ делится на $5$, то, как в пункте а), разобьём все числа ряда на пятёрки чисел. Сумма каждой пятёрки $20$, а всего пятёрок $\frac{n}{5}$. Значит, сумма всего ряда $20\cdot \frac{n}{5} = 4n$. Других сумм получиться не может.

Если $n$ не делится на $5$, то на пятёрки разобьются все числа, кроме одного, двух, трёх или четырёх крайних чисел (их количество равно остатку отделения $n$ на $5$). Сумма чисел, которые разбиты на пятёрки, всегда одинаковая. Поэтому на сумму ряда влияют только оставшиеся числа. Значит, вместо суммы всего ряда нужно находить количество различных значений для суммы оставшихся чисел. Обозначим $5$ крайних чисел через $a,b,c,d,e$ и разберём $4$ случая:

1) Осталось $1$ число: $a$. Числа $a, b, c, d, e$ натуральные, то есть не меньше $1$. Они последовательные, значит $a+b+c+d+e = 20$. Выразим отсюда $a \geq 1$ и получим: $1\leq a = 20 – b – c – d – e \leq $ $20 – 4 = 16$. Всего от $1$ до $16$ — $16$ различных значений.

2) Осталось $2$ числа: $a$ и $b$. Из того же рассуждения получим, что $a+b \geq 1+1$, $a+b \geq 2$ и $a+b = 20 – c – d – e \leq 20 – 3 = 17$. Всего от $2$ до $17$ — $16$ различных значений.

3) Осталось $3$ числа: $a$, $b$ и $c$. Аналогично предыдущему $3\leq a+b+c \leq 18$, снова $16$ значений.

4) Осталось $4$ числа: $a$, $b$,$c$ и $d$. Аналогично предыдущему $4 \leq a+b+c+e \leq 19$, снова $16$ значений.

Однако эти неравенства ещё не гарантируют, что такие ряды действительно существуют. Чтобы доказать, что все $16$ значений действительно могут быть, нужно каждое возможное значение суммы подтвердить примером с нужной суммой крайних чисел.

Как построить примеры ряда так, чтобы условие про суммы пятерок повторялось? Для этого, на самом деле, достаточно задать только $4$ крайних числа $a$, $b$, $c$, $d$. Продолжить этот ряд так, чтобы условие выполнилось, можно единственным образом.

Сначала находим следующее число $e = 20 – a – b – c –d$, затем выражаем шестое число $f = 20-b-c-d-e = a$ и так далее, пока не получим ряд нужной длины. Можно заметить, что, какие бы ни были выбраны числа вначале, числа ряда всегда повторяются через $5$.

Действительно, по условию

$a_{i}+ a_{i+1}+ a_{i+2} + a_{i+3} + a_{i+4} =$ $ a_{i+1} + a_{i+2} + a_{i+3} + a_{i+4} + a_{i+5}$, отсюда $a_{i} = a_{i+5}$.

Чтобы не строить пример отдельно для каждого варианта суммы, построим сразу серию из $16$ примеров. Пусть $t$ — произвольное натуральное число от $1$ до $16$. Начнем с чисел $t, 1, 1, 1$ и продолжим этот ряд вправо, пока не получим $n$ чисел. Получим:

$t, 1,1,1,17$ — $t, t, 1,1,1,17$ — $t, t, 1,1,1,17$ — $t$,$...$ To, какие числа стоят в конце ряда, зависит от остатка при делении $n$ на $5$, но на наше решение это влиять не будет.

Убедимся, что если $n$ не делится на $5$, то действительно существует $16$ различных сумм. Разобьём числа на пятёрки. В зависимости от остатка при делении $n$ на $5$, неразбитыми останутся $1$, $2$, $3$ или $4$ числа.

Для остатка 1 - ряд

$t$, $\underbrace{\begin{Bmatrix}1,1,1,17 - t,t\end{Bmatrix},...,\begin{Bmatrix}1,1,1,17-t,t\end{Bmatrix}}_{k - пятёрок (1,1,1,17-t,t)}$, $S = 20k+t$.

Для остатка 2 - ряд

$t$, $1$, $\underbrace{\begin{Bmatrix}1,1,1,17 - t,t,1\end{Bmatrix},...,\begin{Bmatrix}1,1,17-t,t,1\end{Bmatrix}}_{k - пятёрок (1,1,17-t,t,1)}$, $S = 20k+t+1$.

Для остатка 3 - ряд

$t$, $1$, $1$, $\underbrace{\begin{Bmatrix}1,17 - t,t,1,1\end{Bmatrix},...,\begin{Bmatrix}1,17-t,t,1,1\end{Bmatrix}}_{k - пятёрок (1,17-t,t,1,1)}$, $S = 20k+t+2$.

Для остатка 4 - ряд

$t$, $1$, $1$, $1$, $\underbrace{\begin{Bmatrix}17 - t,t,1,1,1\end{Bmatrix},...,\begin{Bmatrix}17-t,t,1,1,1\end{Bmatrix}}_{k - пятёрок (17-t,t,1,1,1)}$, $S = 20k+t+3$.

Изменяя $t$ от $1$ до $16$, получаем $16$ различных значений для суммы не вошедших в пятёрки чисел, а значит, $16$ различных значение для группы всех чисел.

Ответ: а) нет; б) да; в) $1$, если $n$ делится на $5$;$16$, если $n$ не делится на $5$.