На доске написано несколько...

а) Для выполнения условий достаточно, чтобы произведение двух меньших чисел было больше 40, а произведение двух больших было меньше 100. Рассмотрим пять последовательных чисел, представленных в виде: n, n 1, n 2, n 3, n 4. Тогда должны быть справедливы неравенства: n2 n > 40 и n2 7n 12 < 100. Неравенства справедливы при n = 6 (т.к. 62 6 >40 и 36 42 12 = 90 < 100). Поэтому условию удовлетворяют пять различных натуральных чисел: 6,7,8,9,10 или 6,7,8,9,11. Ответ – да.
б) Пусть шесть чисел записаны на доске в порядке возрастания a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < a6.
Заметим, что a2 ? 7 и a5 ? 9, иначе произведение a1·a2 будет меньше 40, а произведение a5·a6 будет больше 100. Значит, на доске может быть только одно число a1 < 7 и только одно двузначное число a6 ? 10. Но тогда четырьмя различными числами a2< a3 < a4 < a5 должны быть три числа 7, 8 и 9, что невозможно, поэтому ответ - нет.
в) Пусть на доске написаны 4 числа в порядке возрастания: a1 < a2 < a3 < a4. Как было показано в пункте б), соседние с крайними числа всегда подчиняются условию:
7? a2 < a3 ? 9. Следовательно, возможны только три случая:
Если записаны числа: a1, 7, 8, a4, то наибольшие возможные крайние числа a1 = 6, a4 = 12. Сумма четырех записанных на доске чисел будет равна 33.
Если записаны числа: a1, 7, 9, a4, то крайними будут a1 = 6, a4 = 11, а сумма чисел будет равна 33.
Если записаны числа: a1, 8, 9, a4, то крайними будут a1 = 7, a4 = 11, а сумма чисел будет равна 35.
Таким образом, наибольшее значение суммы четырех чисел, записанных на доске, равно 35.
Ответ: а) да; б) нет; в) 35.