В основании прямой призмы...

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит ромб $ABCD$ с диагоналями $AC = 16$ и $BD = 12$.

а) Докажите, что прямые $BD_1$ и $AC$ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми $BD_1$ и $AC$, если известно, что боковое ребро призмы равно $24$.

а) Ясно, что $DD_1 \perp ABC$, так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямая призма (см. рис.). Тогда $BD$ — проекция $BD_1$ на плоскость $ABC$. При этом $BD \perp AC$ по свойству диагоналей ромба. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $BD_1 \perp AC$, что и требовалось доказать.

б) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $AC$ и $BD$. В плоскости $BDD_1$ проведём $OK \perp BD_1$, где точка $K$ принадлежит $BD_1$. Но $AC \perp BD, AC \perp BD_1,$ следовательно, $AC \perp BDD_1$ по признаку перпендикулярнсти прямой и плоскости. Тогда $AC$ перпендикулярна любой прямой в плоскости $BDD_1$. В частности, $AC \perp OK$. Значит, длина отрезка $OK$ равна расстоянию между скрещивающимися прямыми $AC$ и $BD_1$.

В треугольнике $BDD_1$ проведём среднюю линию $OS$. Тогда $OS \parallel AA_1$, значит $OS \parallel DD_1$ и $OS \perp BD$. Также $OS = \frac{1}{2}DD_1 = 12$. Треугольник $BOS$ прямоугольный, $BO=\frac{1}{2}BD=6, S_{BSO}=\frac{1}{2}BO \cdot OS = \frac{1}{2}BD \cdot OK$. Отсюда

$OK=\frac{BO \cdot OS}{BS} = \frac{6 \cdot 12}{\sqrt{6^2+12^2}} = \frac{72}{\sqrt{180}} = \frac{12 \sqrt{5}}{5}$

Ответ: $\frac{12 \sqrt{5}}{5}$