Множество чисел назовём красивым,...

Множество чисел назовём красивым, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.

а) Является ли множество ${500;501;502...599}$ красивым?

б) Является ли множество ${5;25;125;...5^{100}}$ красивым?

в) Сколько красивых четырёхэлементных подмножеств у множества ${1;3;5;6;7;9;14}$?

а) Разобьём множество ${500;501;502;...; 599}$ на $50$ пар, сумма чисел в каждой из
которых равна $1099:$ ${500; 599}$, ${501; 598}$,... .
Множество ${500; 501; 502;...; 599}$ можно разбить на два подмножества, в каждом из которых по $25$ таких пар. Значит, сумма в этих двух подмножествах одинакова и множество ${500; 501; 502;.. . 599}$ является красивым.

б) Заметим, что $5^{100}>$ $\frac{5^{100}-1}{4} = $ $5^{99} + 5^{98} + ... + 25 + 5 + 1$ Поэтому сумма чисел в подмножестве множества ${5;25;125;...;5^{100}}$, содержащем $5^{100}$, всегда больше суммы остальных чисел, следовательно, множество ${5;25;125;...;5^{100}}$ не является красивым.

в) Заметим, что четырёхэлементное множество является красивым в двух случаях: либо одно число является суммой трёх других, либо множество содержит две пары чисел с равными суммами.
Подмножества множества ${1; 3; 5; 6; 7; 9; 14}$, удовлетворяющие первому случаю, — это ${1; 3; 5;9}$ , ${3; 5;6; 14}$ , ${1;6; 7; 14}$.

Рассмотрим второй случай. Заметим, что сумма всех чисел красивого подмножества чётна. В исходном множестве всего два чётных числа, поэтому числа $6$ и $14$ либо одновременно входят в красивое четырёхэлементное подмножество, либо одновременно не входят в него. Если $6$ и $14$ входят в подмножество, то либо сумма двух других чисел равна $20$, что невозможно, так как сумма самых больших оставшихся чисел $7 + 9 < 20$, либо разность двух других чисел равна $8$.
Получаем красивое подмножество: ${1; 6; 9; 14}$.
Если $6$ и $14$ не входят в подмножество, то красивое подмножество лежит во множестве ${1;3;5;7;9}$. Получаем красивые подмножества (две пары чисел с равными суммами): ${1; 3; 5; 7}$ , ${1; 3; 7; 9}$ , ${3; 5; 7; 9}$. Всего получилось $7$ красивых подмножеств.

Ответ: а) да; б) нет; в) 7.