Найдите все значения $a$, при каждом...

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений $\small \begin{cases} & \frac{xy^{2}-5xy-5y+25}{\sqrt{x+5}} = 0 \\ & y = ax \end{cases}$ имеет ровно два различных решения.

Решим задачу графически. Построим графики первого и второго уравнения и определим, сколько точек пересечения они имеют при различных значениях параметра.

Первое уравнение $\frac{xy^{2}-5xy-5y+25}{\sqrt{x+5}} = 0$ параметра не содержит и представляет собой равенство дроби нулю. Это выполняется, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, при этом оба выражения имеют смысл.

Запишем уравнение в виде $\frac{(y-5)(xy-5)}{\sqrt{x+5}}=0$, разложив числитель на множители.

При $x\leq -5$ левая часть не имеет смысла. При $x> -5$ уравнение задаёт прямую $y = 5$ и гиперболу $y = \frac{5}{x}$ (см. рис.)

Найдём координаты точек $A,B$ и $C$. $B$ - точка пересечения прямой $y=5$ и гиперболы $y = \frac{5}{x}$, чтобы найти её координаты, нужно решить систему уравнений $\small \begin{cases} & y=5 \\ & y= \frac{5}{x} \end{cases}$. Получаем $B(1;5)$.

У точек $A$ и $C$ абсцисса равна $-5$, ординаты находим из уравнений прямой и гиперболы. $A(-5;5)$ и $C(-5;-1)$.

При каждом значении $a$ уравнение $y = ax$ задаёт прямую с угловым коэффициентом $a$, проходящую через начало координат.

Чтобы найти значение $a$, при котором такая прямая проходит через точку с указанными координатами, нужно подставить координаты в уравнение прямой.

Например, для точки $A(-5;5)$ получаем $x = -5$, $y=5$, $5 = a \cdot (-5)$, $a = -1$. Аналогично для $B(1;5)$ $a = 5$ и для $C(-5;-1)$ $a = \frac{1}{5}$

При $x>-5$ прямая $y=ax$ пересекает прямую $y=5$ при $a<-1$ и $a>0$, пересекает правую ветвь гиперболы $y = \frac{5}{x}$ при $a>0$, пересекает левую ветвь гиперболы $y = \frac{5}{x}$ при $a>\frac{1}{5}$. При этом прямая $y=ax$ проходит через точку пересечения прямой $y=5$ и гиперболы $y = \frac{5}{x}$ при $a=5$.

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой $y=5$ и гиперболы $y = \frac{5}{x}$ с прямой $y=ax$ при условии $x>-5$.

Таким образом исходная система имеет ровно два решения $0 < a \leq 0,2; a = 5$

Ответ: $(0;0,2]; {5}$