В правильной треугольной пирамиде...

В правильной треугольной пирамиде $BMNK$ с основанием $MNK$ сторона основания равна $6$, а высота пирамиды равна $3$. На рёбрах $MN$, $MK$ и $MB$ соответственно отмечены точки $F$, $E$ и $P$, такие, что $MF = ME = \frac{\sqrt{21}}{2}$ и $MP=\frac{7}{4}$.


а) Докажите, что плоскости $FEP$ и $NBK$ параллельны.
б) Найдите расстояние от точки $P$ до плоскости $NBK$.

а) Чтобы доказать, что плоскости $FEP$ и $NKB$ параллельны, достаточно показать, что две пересекающиеся прямые $PF$ и $FE$ плоскости $FEP$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым $BN$ и $NK$ плоскости $BNK$ (см. рис. 1). Покажем это.

Найдём боковое ребро $MB$ из треугольника $MBO$:
$MO=\frac{2}{3}MO_{1} =2\sqrt{3}$,
$MB=\sqrt{OB^{2}+OM^{2}}$ $=\sqrt{3^{2}+(2\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{21}$.

1. $\frac{MP}{MB} = \frac{7}{4\cdot\sqrt{21}}$ $=\frac{\sqrt{21}}{12}$, $\frac{MF}{MN}=\frac{\sqrt{21}}{2\cdot6}$ $=\frac{\sqrt{21}}{12}$. Отношения сторон равны. Используя условие, что $\angle BMN$ общий, получим: $\triangle MPF \sim \triangle MBN$. Из подобия треугольников следует, что $\angle MPF = \angle MBN$. Эти углы - соответственные, образованные при пересечении двух прямых $PF$ и $BN$ прямой $MB$. Значит, $PF \parallel BN$.

2. Рассматривая треугольники $MEF$ и $MKN$, можно аналогично доказать, что $FE \parallel NK$.

Так как две пересекающиеся прямые $PF$ и $FE$ плоскости $PFE$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым $BN$ и $NK$ плоскости $NBK$, то эти плоскости параллельны.


б) В $\triangle MKN$ $MO_{1}$ - высота, $MO_{1} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, где $a$ - сторона $\triangle ABC$ $MO1 = \frac{6\sqrt{3}}{2}$ $=3\sqrt{3}$.

Пусть $O_{2}$ - точка пересечения $MO_{1}$ и $FE$. Поскольку плоскость $PFE$ параллельна плоскости $BNK$, то расстояние от точки $P$ до плоскости $BNK$ равно расстоянию от точки $O_{2}$ до плоскости $BNK$, и оно равно длине отрезка $O_{2}H$ (см. рис. 2), где точка $H$ лежит на $BO_{1}$ и $O_{2}H \perp BO_{1}$. Докажем, что $O_{2}H$ - расстояние от $O_{2}$ до плоскости $BNK$.

$NK \perp MO_{1}$ и $NK \perp BO_{1}$ ($MO_{1}$ и $BO_{1}$ - высоты $\triangle MNK$ и $\triangle NBK$), значит, $NK$ перпендикулярна плоскости $MBO_{1}$, и тогда $NK$ перпендикулярна любой прямой этой плоскости $BNK$, значит, она перпендикулярна $BNK$, и отрезок $O_{2}H$ равен расстоянию от $O_{2}$ до плоскости $BNK$.

В треугольнике $O_{2}HO_{1} : O_{2}H$ $= O_{2}O_{1} sin \angle HO_{1}O_{2}$.

$O_{2}O_{1} = MO_{1}- MO_{2}$.

Из $\triangle MEO_{2}: \angle MO_{2}E=90^{\circ}$, $\angle EMO_{2} = 30^{\circ}$;

$MO_{2} = ME \cos30^{\circ}$ $= \frac{\sqrt{21}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{7}}{4}$.

$O_{2}O_{1} = 3\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{7}}{4}$ $= \frac{3(4\sqrt{3}-\sqrt{7})}{4};$

$\sin \angle HO_{1}O_{2} = \frac{BO}{BO_{1}}$ $= \frac{BO}{\sqrt{BO^{2}+OO_{1}^{2}}}$ $= \frac{3}{\sqrt{3^{2}+(\sqrt{3})^{2}}}$ $= \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$O_{2}H$ $= \frac{3(4\sqrt{3}-\sqrt{7})}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ $= \frac{3(12-\sqrt{21})}{8}$.

$Ответ:$ $\frac{3(12-\sqrt{21})}{8}$