Решите неравенство...

Решите неравенство $\frac{4^{x}+27\cdot 2^{x}+18}{2^{2x}+8\cdot 2^{x}+12}$ $\geq 1+2^{x}- \frac{2^{x}-3}{2^{x}+6}$.

$\frac{4^{x}+27\cdot 2^{x}+18}{2^{2x}+8\cdot 2^{x}+12}$ $\geq 1+2^{x}- \frac{2^{x}-3}{2^{x}+6}$.

Обозначим $2^{x}=t$, $t>0$. Неравенство примет вид:

$\frac{t^{2}+27t+18}{t^{2}+8t+12}$ $\geq 1+t- \frac{t-3}{t+6}$,

$\frac{t^{2}+8t+12+19t+6}{t^{2}+8t+12}$ $\geq 1+t- \frac{t-3}{t+6}$,

$1+ \frac{19t+6}{(t+2)(t+6)}$ $\geq 1+t-\frac{t-3}{t+6}$,

$\frac{19t+6}{(t+2)(t+6)}$ $-t+\frac{t-3}{t+6}\geq 0$,

$-\frac{t(t^{2}+7t-6)}{(t+2)(t+6)}\geq 0$.

Полученное неравенство при условии $t>0$ равносильно неравенству $t^{2}+7t-6\leq 0$ (так как $t>0$, $t+2>0$ и $t+6>0$),

$0 < t \leq \frac {\sqrt{73}-7}{2}$,

$0<2^{x}\leq \frac{\sqrt{73}-7}{2}$,

$x\leq \log_{2}\frac{\sqrt{73}-7}{2}$.

$Ответ:$ $(-\infty; \log_{2}\frac{\sqrt{73}-7}{2}]$.