Найдите все значения параметра $a$,...

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $\frac{x^{2}+ax+2}{2} = \sqrt{4x^{2}+ax+1}$ имеет ровно три различных корня.

Уравнение $\frac{x^{2}+ax+2}{2}$ $=\sqrt{4x^{2}+ax+1}$ при $\frac{x^{2}+ax+2}{2} < 0$ не имеет корней. При $x^{2}+ax+2 \geq 0$ обе части уравнения можно возвести в квадрат.

$(x^{2}+ax+2)^{2}$ $=4(4x^{2}+ax+1)$,

$x^{4}+ax^{3}+2x^{2}+ax^{3}+a^{2}x^{2}$ $+ 2ax + 2x^{2} + 2ax +4$ $=16x^{2}+4ax+4$,

$x^{4} + 2ax^{3} + x^{2}(a^{2}-12) = 0$,

$x^{2}(x^{2}+2ax+a^{2} - 12) = 0$,

$x^{2}((x+a)^{2} - 12) = 0$,

$x_{1} = 0$, $(x+a - \sqrt{12})(x+a+\sqrt{12}) = 0$,

$x_{2} = -a + \sqrt{12}$, $x_{3} = -a - \sqrt{12}$.

Чтобы исходное уравнение имело три различных корня, необходимо, чтобы числа $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ были различными и для каждого из этих чисел выполнялось условие $x^{2}+ax+2 \geq 0$.

$x_{2} \neq 0$ и $x_{3} \neq 0$, если $a \neq \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ и $a \neq -\sqrt{12}$ $=-2\sqrt{3}$.

Обозначим $g(x) = x^{2}+ax+2$. $g(0)=2>0$. Числа $x_{2}=-a + 2\sqrt{3}$ и $x_{3} = -a-2\sqrt{3}$ будут корнями исходного уравнения, если выполняются условия: \[\small \begin{cases} g(x_{2})\geq 0, \\ g(x_{3}) \geq 0; \end{cases}\] \[\small \begin{cases} (-a + 2\sqrt{3})^{2} + a(-a + 2\sqrt{3})+2 \geq 0, \\ (-a-2\sqrt{3})^{2} + a(-a-2 \sqrt{3}) +2 \geq 0; \end{cases}\] \[\small \begin{cases} -2a\sqrt{3} + 14 \geq 0, \\ 2a\sqrt{3} + 14 \geq 0; \end{cases}\] \[\small \begin{cases} a \leq \frac{7}{\sqrt{3}}, \\ a\geq -\frac{7}{\sqrt{3}}. \end{cases}\] Таким образом, $a \in [-\frac{7}{\sqrt{3}};$ $-2\sqrt{3})$ $\cup (-2\sqrt{3};2\sqrt{3})$ $\cup (2\sqrt{3}; \frac{7}{\sqrt{3}}]$.

$Ответ:$ $[-\frac{7}{\sqrt{3}};$ $-2\sqrt{3})$ $\cup (-2\sqrt{3};2\sqrt{3})$ $\cup (2\sqrt{3}; \frac{7}{\sqrt{3}}]$.