На доске записаны числа...

На доске записаны числа $1,2,3,...,33$. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых больше $66$ и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.

а) Приведите пример последовательных пяти ходов.

б) Можно ли сделать $11$ ходов?

в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?

а) пример пяти ходов.

1) $(33,32,2)$ - сумма $33+32+2=67$,

2) $(30,29,9)$ - сумма $30+29+9=68$,

3) $(27,26,16)$ - сумма $27+26+16=69$,

4) $(25,24,21)$ - сумма $25+24+21=70$,

5) $(23,28,20)$ - сумма $23+28+20=71$.

Возможны и другие примеры.

б) Предположим, что можно сделать $11$ ходов. Тогда надо стереть все числа. Сумма всех чисел равна $1+2+3+...+33$ $=\frac{1+33}{2} \cdot 33 = 561$.

С другой стороны, сумма чисел в каждой стёртой тройке больше $66$. Значит, их общая сумма не меньше, чем $67 \cdot 11= 737$. Но $737 > 561$. Получили противоречие. Сделать $11$ ходов невозможно.

в) Предположим, что сделано $k$ ходов. За эти ходы вычеркнуто $3k$ различных чисел. Их общая сумма $S$ удовлетворяется неравенствам

$S \leq 33+32+31+...$ $+(33-3k+1)= \frac{67-3k}{2} \cdot 3k$,

$S \geq 67+68+69+...+(66+k)$ $= \frac{133+k}{2} \cdot k$.

Значит, $\frac{133+k}{2}\cdot k \leq \frac{67-3k}{2} \cdot 3k$; $133+k \leq (67-3k)\cdot 3$; $133+k \leq 201 - 9k$; $k \leq 6,8$.

Но число ходов $k$ является натуральным числом, поэтому $k \leq 6$.

Построим пример шести ходов. Первые $5$ ходов такие же, как и в пункте а). Шестой ход - $(31,22,19)$, с суммой $31+22+19=72$. Таким образом, наибольшее возможное число ходов равно $6$.

$Ответ:$ $а) (33;32;2)$, $(30;29;9)$, $(27;26;16)$, $(25;24;21)$, $(23;28;20)$; б) нет; в) $6$.