а) Решите уравнение ...

а) Решите уравнение $0,2^{2cosx-1}-26\cdot 0,2^{cosx-\frac{1}{2}}+$ $25=0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\pi;\frac{3\pi}{2}]$.

а) Запишем уравнение в виде $5\cdot 0,2^{2cosx}-26\sqrt{5}\cdot 0,2^{cosx}+25=0$. После замены $t=0,2^{cosx}$ исходное уравнение примет вид $5t^{2}-26\sqrt{5t}+25=0$. Корни этого уравнения $t=5\sqrt{5}$, $t=\frac{1}{\sqrt{5}}$. Возвращаясь к переменной $x$, получим: $\left[ \begin{gathered} 0,2^{cosx}=5\sqrt{5}, \\ 0,2^{cosx}=\frac{1}{\sqrt{5}}; \\ \end{gathered}
\right.$ $\left[\begin{gathered}
5^{-cosx}=5^{\frac{3}{2}}, \\ 5^{-cosx}=5^{-\frac{1}{2}}; \\ \end{gathered}
\right.$ $\left[\begin{gathered}
cosx=-\frac{3}{2}, \\ cosx=\frac{1}{2}. \\ \end{gathered}
\right.$

Первое уравнение совокупности не имеет корней. Решая второе уравнение, получим: $x=\pm \frac{\pi}{3} +2\pi n,n \in Z$.

б) Запишем решение уравнения в виде $x=\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z$ или $x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,n \in Z$ и выясним, для каких целых значений $n$ и $k$ справедливы неравенства $-\pi \leq -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq \frac{3\pi}{2}$ и $-\pi \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi k \leq \frac{3\pi}{2}$.

Получим: $-\frac{1}{3} \leq n \leq \frac{11}{12}$ и $-\frac{2}{3} \leq k \leq \frac{7}{12}$, откуда следует, что два целых значения $n=0$ и $k=o$ удовлетворяют соответствующим неравенствам.

При $n=0$ $x=\frac{\pi}{3} +2\pi\cdot 0 = \frac{\pi}{3}$.

При $k=0$ $x=-\frac{\pi}{3}+2\pi\cdot 0 = -\frac{\pi}{3}$. Итак, $\frac{\pi}{3}$ и $-\frac{\pi}{3}$ - корни уравнения, принадлежащие промежутку $[-\pi;\frac{3\pi}{2}]$.

$Ответ:$ а) $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in Z$; б) $-\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{3}$.