Решите неравенство...

Решите неравенство $\frac{4^{x+1}+3}{1+2\cdot 4^{x}}+\frac{10\cdot 4^{x}+4}{5\cdot 4^{x} +4}$ $< \frac{9\cdot 4^{x} + 8}{2+ 3\cdot 4^{x}} + \frac{4^{x+1}}{4^{x+1}+3}$.

С помощью замены $4^{x}=t$, где $t > 0$, приведём неравенство к виду

$\frac{4t+3}{1+2t}+\frac{10t+4}{5t+4}$ $<\frac{9t+8}{2+3t} + \frac{4t}{4t+3}$.

Выделим целую часть в каждом слагаемом:

$2+ \frac{1}{1+2t} + 2 - \frac{4}{5t+4}$ $< 3 + \frac{2}{2+3t} + 1$ $- \frac{3}{4t+3}$,

$\frac{1}{1+2t} - \frac{2}{2+3t}$ + $\frac{3}{4t+3} - \frac{4}{5t+4}<0$,

$\frac{2+3t-2-4t}{(1+2t)(2+3t)} + \frac{15t+12-12-16t}{(3+4t)(5t+4)} > 0$,

$\frac{t(20t^{2}+31t+12+6t^{2}+7t+2)}{(1+2t)(2+3t)(3+4t)(5t+4)} > 0$,

$\frac{2t(13t^{2}+19t+7)}{(1+2t)(2+3t)(3+4t)(5t+4)} > 0$,

Решением последнего неравенства при $t > 0$ будет любое значение $t$.

Возвращаясь к переменной $x$, получим неравенство $4^{x}>0$. Решением этого неравенства является множество $R$ всех действительных чисел.

$Ответ:$ $(-\infty;+\infty)$.