а) Решите уравнение...

а) Решите уравнение $\frac{sin2x}{cos(\pi+x)} = -\sqrt{2}$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $(-2\pi; -\frac{\pi}{2})$.

а) $\frac{sin2x}{cos(\pi+x)} = -\sqrt{2}$.

Зная, что $sin2x = 2sinx cosx$, $cos(\pi +x) = -cosx$, получим: $\frac{2sinx cosx}{-cosx} = - \sqrt{2}$.

Учитывая, что $cosx \neq 0$, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$, $m \in Z$, имеем:

$2sinx = \sqrt{2}$,

$sinx=\frac{\sqrt{2}}{2}$,

$x=\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in Z$;

$x= \frac{3\pi}{4} + 2\pi nk$, $k \in Z$.

б) Отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку $(-2\pi; -\frac{\pi}{2})$.

1. $x= \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in Z$.

$-2\pi < \frac{\pi}{4} + 2\pi n < - \frac{\pi}{2}$,

$-2-\frac{1}{4} < 2n < - \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$,

$-\frac{9}{4} < 2n < - \frac{3}{4}$,

$-\frac{9}{8} < n < - \frac{3}{8}$,

$n = -1$

При $n = -1$

$x = \frac{\pi}{4} - 2 \pi = -\frac{7\pi}{4}$.


2. $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in Z$.

$-2\pi < \frac{3\pi}{4} + 2\pi k < - \frac{\pi}{2}$,

$-2 < \frac{3}{4} + 2k < - \frac{1}{2}$,

$-2 - \frac{3}{4} < 2k < -\frac{1}{2} - \frac{3}{4}$,

$-\frac{11}{4} < 2k < -\frac{5}{4}$,

$-\frac{11}{8} < k < -\frac{5}{8}$,

$k = -1$.

При $k= -1$

$x= \frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4}$.

Ответ: а) $\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $n$, $k \in Z$; б) -$\frac{7\pi}{4}$; -$\frac{5\pi}{4}$.