Решите неравенство $log_{|x+4|}...

Решите неравенство $log_{|x+4|} (16+14x-2x^{2}) \geq 2$.

$log_{|x+4|} (16+14x-2x^{2}) \geq 2$

ОДЗ:

$\small \begin{cases} 16+14x-2x^{2}>0, \\ x+4\neq 0, \\ |x+4| \neq 1; \end{cases}$ $\small \begin{cases} x^{2}-7x-8<0, \\ x\neq -4, \\ x\neq -3, \\ x\neq -5; \end{cases}$ $\small \begin{cases} (x+1)(x-8) < 0, \\ x\neq -4, \\ x\neq -3, \\ x\neq -5; \end{cases}$
$x \in (-1;8)$.

$log_{|x+4|}(16+14x-2x^{2}) \geq log_{|x+4|}(x+4)^{2}$,
$log_{|x+4|}(16+14x-2x^{2}) - log_{|x+4|}(x+4)^{2}\geq 0$ (1).

На ОДЗ заменим полученное неравенство (1) равносильными неравенствами, применив дважды метод рационализации:

1) знак $log_{a}f - log_{a}g$ совпадает со знаком $(a-1)(f-g)$,

2) знак $|f|-|g|$ совпадает со знаком $(f-g)(f+g)$.

Согласно 1: $(|x+4|-1)(16+14x-2x^{2}-x^{2}-8x-16)\geq 0$, $(|x+4|-1)(-3x^{2}+6x) \geq 0$.

Разделим обе части неравенства на $-3$.

$(|x+4|-1)(x^{2}-2x)\leq 0$,

Согласно 2: $(x+4-1)(x+4+1)x(x-2)\leq 0$

$x(x+3)(x+5)(x-2)\leq 0$.

$-5\leq x \leq -3$, $0 \leq x \leq 2$ (см. рис.1).

Учитывая ОДЗ, получим:

$0 \leq x \leq 2$ (см. рис.2)

Ответ: $[0;2]$.