ЕГЭ по Математике (профильный)
Все члены последовательности...
Задание:
Все члены последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в $7$ раз больше, либо в $7$ раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна $2745$.
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
Решение:
а) Предположим, что последовательность состоит из двух членов. Пусть меньшее из чисел последовательности $a$, тогда второе число $7a$. Сумма членов $a+7a=8a$. По условию эта сумма равна $2745$ и она должна делиться на $8$. Но $2745$ не делится на $8$. Наше предположение неверно, следовательно, данная последовательность не может состоять из двух членов.
б) Да, может. Например, такой является последовательность:
$305$; $305 \cdot 7$; $305$, то есть $305; 2135; 305$ (мы рассмотрели последовательность $a, 7a, a$ с суммой $9a$).
в) Минимальная сумма двух стоящих подряд членов последовательности равна $8$ (два соседних члена равны $1$ и $7$).
$2745 = 8 \cdot 343 + 1$, то есть $8 \cdot 344 > 2745$ и $344$ пары быть не может. Таким образом, чисел меньше $344 \cdot 2$.
Значит, максимальное число членов последовательности $343 \cdot 2 + 1 = 687$.
В этом случае последовательность имеет вид: $1,7,1, 7,...,1$.
Ответ: а) нет; б) да; в) $687$.
б) Да, может. Например, такой является последовательность:
$305$; $305 \cdot 7$; $305$, то есть $305; 2135; 305$ (мы рассмотрели последовательность $a, 7a, a$ с суммой $9a$).
в) Минимальная сумма двух стоящих подряд членов последовательности равна $8$ (два соседних члена равны $1$ и $7$).
$2745 = 8 \cdot 343 + 1$, то есть $8 \cdot 344 > 2745$ и $344$ пары быть не может. Таким образом, чисел меньше $344 \cdot 2$.
Значит, максимальное число членов последовательности $343 \cdot 2 + 1 = 687$.
В этом случае последовательность имеет вид: $1,7,1, 7,...,1$.
Ответ: а) нет; б) да; в) $687$.
Задание добавил(а)
Создатель и главный администратор проекта ExamMe.
О задание:
Источник условия: Книга: Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень. 40 тренировочных вариантов. Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Калабухова.
Источник решения: Книга: Решение заданий из книги указанной в источнике условия. Автор неизвестен.
Источник решения: Книга: Решение заданий из книги указанной в источнике условия. Автор неизвестен.
Обсуждения
Только зарегистрированные пользователи могут оставлять комментарии.
а) Нет. Обозначим через x 1-й член последовательности (a1=x), тогда второй член будет равен a2 =7x. Тогда, получаем сумму, которая должна быть равна 2745:
x 7x = 2745 ? 8x = 2745.
Это уравнение не имеет N-решений (число 2745 не делится без остатка на 8). Поэтому нельзя подобрать нужные натуральные числа, из которых можно составить последовательность из двух членов. Ответ – нет.
б) Для суммы трех членов такой последовательности можем записать:
x 7x x = 2745 ? 9x = 2745 ? x = 305.
То есть можно взять, например, три следующих члена: 305, 2135, 305. Поэтому, ответ – да.
в) Для поиска наибольшего числа членов последовательности возьмем за начальное значение x=1 и будем формировать последующие члены последовательности в виде: 1 7 1 7 … 1 = n?(1 7) 1 = 2745.
Здесь в качестве последнего члена используется слагаемое 1, так как число 2745 не делится нацело на 8, но число 2745 - 1=2744 делится на 8, что дает
n = 2744/8 = 343. Тогда максимальное число членов равно 2?n 1=2?343 1 = 687. Ответ: а) нет; б) да; в) 687.