Найдите наименьшее значение функции...

Найдите наименьшее значение функции $y= 7x- ln(x+11)^{7}$ на отрезке $[-10,5;0]$.

ОДЗ: $(x+11)^{7} > 0$, $x+11$$ > 0$, $x > -11$. На ОДЗ исходная функция примет вид:

$y=7x-7ln(x+11)$.

Найдём производную: $y' = 7 - \frac{7}{x+11}$. Определим нули производной: $ 7 - \frac{7}{x+11} = 0$, $\frac{1}{x+11} = 1$, $x = -10$. Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции (см. рис.)

Из рисунка видно, что на отрезке $[-10,5; -10]$ исходная функция убывает, а на отрезке $[-10; 0]$ возрастает. Таким образом, наименьшее значение на отрезке $[-10,5; 0]$ достигается при $x=-10$ и равно $y(-10) = 7\cdot (-10) - ln (-10 +11) ^{7} = -70$.