В окружность с центром $O$ вписан...

В окружность с центром $O$ вписан остроугольный треугольник $ABC$, в котором проведена медиана $BK$, причём $\angle KBC = \angle OCB$.

а) Докажите, что точка $O$ лежит на медиане $BK$.

б) Найдите площадь треугольника $AOB$, если $\angle ABC = 60^{\circ}$,
$AB = 4\sqrt{3}$.

а) Докажем, что точка $O$ лежит на медиане $BK$ (см. рис.).

$\triangle BOC$ — равнобедренный ($OB=OC$ как радиусы), следовательно, $\angle OCB = \angle OBC$ (как углы при основании равнобедренного треугольника). По условию $\angle KBC = \angle OCB$, значит, $\angle KBC = \angle OBC$.

$\triangle ABC$ — остроугольный, значит, $O$ лежит внутри треугольника, $K$ и $O$ лежат по одну сторону от $BC$. В этом случае из равенства $\angle KBC$ и $\angle OBC$ следует, что точка $O$ лежит на медиане $BK$.

б) $\triangle AOC$ — равнобедренный, так как $AO = OC$ (как радиусы), $OK$ — медиана, тогда $OK$ — высота, отсюда $BK$ — высота в $\triangle ABC$, $BK$ — высота и медиана $\triangle ABC$, значит, он равнобедренный, $AB=BC$.

По условию $\angle ABC = 60^{\circ}$, тогда $\angle BAC = \angle BCA = 60^{\circ}$, $AB=BC=AC=4\sqrt{3}$. $\triangle ABC$ — правильный.

$\triangle AOB = \triangle BOC = \triangle AOC$ (по трём сторонам).

$S_{BOA} = \frac{1}{3}S_{ABC} = \frac{1}{3}\cdot \frac{AB^{2}\sqrt{3}}{4} =$ $\frac{16 \cdot 3\sqrt{3}}{12} =$ $4\sqrt{3}$.

Ответ: $4\sqrt{3}$.