В августе планируется взять кредит в...

В августе планируется взять кредит в банке на сумму $3$ млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на $20$% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июль каждый год необходимо выплатить часть долга;

— в августе каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на август предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит $5,1$ млн рублей?

Пусть кредит планируется взять на $n$ лет. Ежегодный платёж состоит из двух частей: одна и та же сумма $x=\frac{3}{n}$ млн рублей, на которую каждый год уменьшается сумма кредита (долга), и плата за пользование кредитом, которая составляет $20$% от оставшегося долга. Долг перед банком (в млн рублей) по состоянию на май должен уменьшаться до нуля равномерно:

$3$; $3-x$; $3-2x$; $...$; $3-(n-1)x$; $0$.

Ежегодные выплаты процентов за пользованием кредитом составят (в млн рублей): $0,2\cdot 3$; $0,2 \cdot (3-x)$; $0,2 \cdot (3-2x)$; $...$; $0,2\cdot (3-(n-1)x)$.

Сумму выплат процентов за пользование кредитом посчитаем как сумму арифметической прогрессии.

$0,2\cdot 3 + 0,2\cdot (3-x) + 0,2\cdot (3-2x)+$ $...+0,2\cdot (3-(n-1)x) =$ $0,2(3+(3-x)+(3-2x)+$ $...+(3-(n-1)x))=$ $0,2 \cdot \frac{3+3-(n-1)x}{2} \cdot n =$ $0,2 \cdot \frac{(6-(n-1)\cdot \frac{3}{n})\cdot n}{2} =$ $0,2 \cdot \frac{6n-3(n-1)}{2} =$ $\frac{3n+3}{10}$.

За $n$ лет клиент банка должен выплатить $3$ млн рублей кредита и проценты за пользование кредитом $\frac{3n+3}{10}$ млн рублей, что по условию равно $5,1$ млн рублей.

$3+\frac{3n+3}{10} = 5,1$; $\frac{3n+3}{10} = 2,1$, $3n+3 = 21$, $n=6$.

Кредит планируется взять на $6$ лет.

Ответ: $6$.