На столе перед нумизматом лежит...

На столе перед нумизматом лежит $2025$ монет орлом кверху. За один ход нумизмат переворачивает любые $6$ различных монет. Разрешается переворачивать и те монеты, которые уже были задействованы в предыдущих ходах.

а) Может ли после нескольких ходов ровно $16$ монет оказаться кверху решкой?

б) Может ли после нескольких ходов ровно $9$ монет оказаться кверху решкой?

в) Какое наименьшее число монет может оказаться кверху орлом в результате конечного числа ходов?

а) Да, может. Пусть в первые два хода нумизмат переворачивает монеты, лежащие кверху орлом, а за третий ход — $5$ монет, лежащих кверху орлом, и $1$ монету, лежащую кверху решкой.

б) Нет, не может. После очередного хода монеты на столе могут быть двух видов: монеты кверху орлом и монеты кверху решкой.

Если за один ход нумизмат переворачивает $6$ монет одного вида, то количество монет каждого вида изменяется на $6$.

Если за один ход нумизмат переворачивает $5$ монет одного вида и $1$ монету другого, то количество монет каждого вида изменяется на $4$.

Если за один ход нумизмат переворачивает $4$ монеты одного вида и $2$ монеты другого, то количество монет каждого вида изменяется на $2$.

Если за один ход нумизмат переворачивает по $3$ монеты каждого вида, то количество монет каждого вида не изменяется.

Таким образом, количество монет, которые лежат кверху решкой, в результате каждого хода изменяется на $6$, на $4$, на $2$ или на $0$ (не изменяется), то есть изменяется на чётное число. Следовательно, количество монет кверху решкой всегда остаётся чётным (изначально их $0$ — чётное число).

в) Количество монет кверху орлом всякий раз изменяется на чётное число, следовательно, всегда остаётся нечётным (изначально их $2025$ — нечётное число). Наименьшее нечётное целое неотрицательное число равно $1$. Покажем, что на столе может оказаться ровно $1$ монета кверху орлом. Пусть первые $336$ ходов нумизмат переворачивает монеты, лежащие кверху орлом. Тогда он перевернёт $2016$ монет, и на столе останется $9$ монет, лежащих кверху орлом. Следующим ходом он перевернёт $5$ монет, лежащих орлом кверху, и $1$ монету, лежащую кверху решкой. Количество монет кверху орлом станет равным $5$. Таким же образом нумизмат осуществит последний ход: перевернёт $5$ монет, лежащих орлом кверху, и $1$ монету, лежащую кверху решкой. На столе останется $1$ монета орлом кверху.

Ответ: а) да; б) нет; в) $1$.